السؤال: اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطتين (-5 ، 3) ، (0 ، -7)
- الإجابة: ص = –٢س – ٧
شرح الإجابة:
للوصول إلى معادلة أي خط مستقيم، نحن بحاجة إلى معرفة عنصرين أساسيين: ميله، ونقطة واحدة يمر بها. في هذه الحالة، لدينا نقطتان، مما يمنحنا كل ما نحتاجه للانطلاق في الحل. إن الخط المستقيم هو في جوهره علاقة ثابتة بين الإحداثيات السينية والصادية، ومهمتنا هي كشف الشيفرة الرياضية لهذه العلاقة.
في مستهل الأمر، يتوجب علينا تحديد “انحدار” الخط، أو ما يُعرف رياضيًا بـ “الميل”. الميل هو مقياس دقيق لمدى شدة ارتفاع أو انخفاض المستقيم، ويُحسب عبر قسمة التغير الرأسي (في المحور ص) على التغير الأفقي (في المحور س) بين أي نقطتين عليه. باستخدام النقطتين المعطاتين (س₁، ص₁) وهي (-5 ، 3) و(س₂، ص₂) وهي (0 ، -7)، نطبق قانون الميل: م = (ص₂ – ص₁) / (س₂ – س₁). بالتعويض، يصبح لدينا: م = (-7 – 3) / (0 – (-5))، وهو ما يساوي -10 / 5. إذن، الميل (م) لهذا المستقيم هو -2. هذا الرقم يعني أن لكل خطوة نتحركها أفقيًا نحو اليمين، ينخفض المستقيم خطوتين رأسيًا.
بعد أن حصلنا على قيمة الميل، ننتقل إلى الصيغة العامة لمعادلة المستقيم المعروفة بـ “صيغة الميل والمقطع”: ص = م س + ب. في هذه الصيغة، “م” هو الميل الذي حسبناه للتو، و”ب” يمثل “المقطع الصادي”، أي النقطة التي يقطع فيها المستقيم المحور الرأسي (ص). بناءً على ذلك، أصبحت معادلتنا الآن في صورتها الأولية: ص = -2س + ب. تبقى أمامنا خطوة أخيرة وهي إيجاد قيمة “ب”.
ومن هذا المنطلق، يمكننا استغلال إحدى النقطتين لإيجاد المقطع الصادي “ب”. النقطة (0 ، -7) هي الخيار الأمثل هنا، لأنها بطبيعتها تكشف قيمة “ب” مباشرة. فعندما تكون قيمة “س” تساوي صفرًا، فإن قيمة “ص” تمثل المقطع الصادي. وبالتالي، نستنتج مباشرة أن ب = -7. وللتأكد من صحة الحل، يمكننا استخدام النقطة الأخرى (-5 ، 3) وتعويضها في المعادلة: 3 = -2(-5) + ب. ينتج عن ذلك 3 = 10 + ب، وبطرح 10 من الطرفين، نحصل على ب = -7، وهي النتيجة ذاتها.
ختامًا، بعد تحديد الميل (م = -2) والمقطع الصادي (ب = -7)، نصل إلى الصورة النهائية والكاملة للمعادلة. نقوم بتركيب هذه القطع معًا في صيغة الميل والمقطع لنحصل على المعادلة التي تصف هذا المستقيم تحديدًا وبشكل فريد في المستوى الإحداثي، وهي: ص = -2س – 7.
