طبق ما تعلمته عن المسافة في المستوى الإحداثي لتحديد إحداثيات نقطتي نهاية قطعة مستقيمة ليست أفقية أو رأسية طولها 5 وحدات

السؤال: طبق ما تعلمته عن المسافة في المستوى الإحداثي لتحديد إحداثيات نقطتي نهاية قطعة مستقيمة ليست أفقية أو رأسية طولها 5 وحدات

• الإجابة: إجابة ممكنة: (١ ، ٢) و (٤ ، ٦)

شرح الإجابة:

إن جوهر هذه المسألة الهندسية يكمن في التطبيق العملي لمبدأ رياضي أساسي، وهو نظرية فيثاغورس، ولكن في سياق الفضاء الديكارتي. فالقطعة المستقيمة المائلة في المستوى الإحداثي ما هي إلا وتر لمثلث قائم الزاوية، تكون أضلاعه الأخرى موازية لمحوري السينات والصادات. وعليه، فإن قانون المسافة بين أي نقطتين هو الترجمة الجبرية لهذه النظرية: مربع المسافة يساوي مجموع مربعي الفارق في الإحداثيات السينية والصادية.

بناءً على هذا المفهوم، لدينا المسافة المطلوبة وهي 5 وحدات. عند تطبيق معادلة البُعد الإقليدي، نحصل على المعادلة التالية: 5² = (الفرق بين السينات)² + (الفرق بين الصادات)². ينتج عن ذلك علاقة واضحة: 25 = (الإزاحة الأفقية)² + (الإزاحة الرأسية)². وهنا يتحول التحدي الهندسي إلى بحث عددي عن عددين صحيحين، يكون مجموعهما بعد تربيع كل منهما يساوي 25.

إن الحل الأمثل لهذه المعادلة يقودنا مباشرة إلى ثلاثية فيثاغورس الشهيرة (3، 4، 5). فالعددان اللذان يحققان الشرط هما 9 و 16 (لأن 3² = 9 و 4² = 16، ومجموعهما 25). وهذا يعني أن التغير الأفقي بين النقطتين يجب أن يكون 3 وحدات، بينما يكون التغير الرأسي 4 وحدات (أو العكس)، وهذا يضمن أن القطعة المستقيمة ليست أفقية أو رأسية.

للانتقال من الفكرة المجردة إلى إحداثيات ملموسة، نبدأ باختيار أي نقطة انطلاق عشوائية على شبكة الإحداثيات، ولتكن النقطة (1، 2). ثم نضيف قيم التغير التي استنتجناها: نضيف 3 إلى الإحداثي السيني (1 + 3 = 4)، ونضيف 4 إلى الإحداثي الصادي (2 + 4 = 6). وبهذه الطريقة المنهجية، نصل إلى النقطة الثانية وهي (4، 6). وهكذا، نحصل على زوج من الإحداثيات يحقق بدقة متناهية كافة شروط المسألة.