السؤال: عندما يستعمل نظام إحداثي معين ما الطريقة التي يمكن استعمالها لإيجاد زاوية متجه ما أو اتجاهه بالنسبة لمحاور هذا النظام الإحداثي؟
شرح الإجابة:
في البداية، لفهم كيفية تحديد زاوية متجه داخل نظام إحداثي ديكارتي، يجب أولاً إدراك أن كل متجه يُمثل بواسطة مركبتين أساسيتين: مركبة أفقية (x) ومركبة رأسية (y). هاتان المركبتان تشكلان معاً مثلثاً قائم الزاوية، حيث يمثل المتجه الوتر، بينما تمثل المركبتان الضلعين القائمين. ومن هنا، تنشأ الحاجة إلى استخدام الدوال المثلثية لتحديد الزاوية التي يصنعها هذا المتجه مع المحور الأفقي.
ولحساب هذه الزاوية بدقة، نستخدم الدالة العكسية للظل، وهي:
θ = arctan(y / x)
هذه المعادلة تُمكننا من إيجاد الزاوية الأولية التي يصنعها المتجه مع محور X، ولكنها لا تكفي وحدها لتحديد الاتجاه الكامل، لأن الدالة arctan تعطي نتائج محصورة بين –90° و +90° فقط، مما يعني أنها لا تميز بين الرباعيات المختلفة في المستوى الإحداثي.
لذلك، ننتقل إلى خطوة أكثر دقة وهي تحديد موقع المتجه ضمن أحد الأرباع الأربعة للمستوى الإحداثي، وذلك لضبط الزاوية النهائية وفقاً للموقع:
– إذا كان x > 0 و y > 0، فإن المتجه يقع في الربع الأول، وتُستخدم الزاوية كما هي.
إقرأ أيضا:هل صلاة الاستغاثة بفاطمة الزهراء عليها السلام والقول في السجود يا فاطمة اغيثيني شرك– إذا كان x < 0 و y > 0، فإن المتجه في الربع الثاني، وتُضاف 180° إلى الزاوية الأولية.
– إذا كان x < 0 و y < 0، فإن المتجه في الربع الثالث، وتُضاف أيضاً 180° لضمان الاتجاه الصحيح. - إذا كان x > 0 و y < 0، فإن المتجه في الربع الرابع، وإذا كانت الزاوية سالبة، تُضاف 360° للحصول على قيمة موجبة ضمن المجال [0°, 360°). وبعد ضبط الزاوية وفقاً للربع المناسب، نحصل على اتجاه المتجه بدقة عالية، ويُقاس هذا الاتجاه دائماً عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بدءاً من محور X الموجب، وهو ما يُعرف بالزاوية القطبية أو الزاوية المرجعية للمتجه. هذا الأسلوب لا يُستخدم فقط في الرياضيات النظرية، بل يمتد إلى تطبيقات عملية في الفيزياء والهندسة، مثل تحليل القوى، تحديد اتجاه السرعة، دراسة الحركة الدورانية، وحتى في تصميم الأنظمة الإلكترونية التي تعتمد على الإشارات الاتجاهية. ومن خلال فهم العلاقة بين المتجهات والزوايا، يصبح الطالب قادراً على الربط بين المفاهيم المجردة والقوانين الرياضية، مما يعزز قدرته على التحليل والاستنتاج في سياقات متعددة.
إقرأ أيضا:اكتب بصيغة الميل والمقطع : ص – ٣ = ٤(س + ٣)