عند ضرب عدد كلي أكبر من واحد في كسر اعتيادي موجب أقل من واحد فإن الناتج يكون دائما

السؤال: عند ضرب عدد كلي أكبر من واحد في كسر اعتيادي موجب أقل من واحد فإن الناتج يكون دائماً؟

شرح الإجابة:

دعنا نتأمل هذه القاعدة الرياضية بعمق، فهي ليست مجرد قانون يُحفظ، بل هي منطق رياضي متجذر في مفهوم الضرب نفسه. عندما نُجري عملية جداء بين كميتين، فإننا في جوهر الأمر نعدّل قيمة إحداهما استناداً إلى الأخرى. في هذه الحالة تحديداً، لدينا طرفان: عدد صحيح يتجاوز الواحد، وقيمة جزئية موجبة لا تبلغ الواحد الكامل، أي كسر اعتيادي بسطه أصغر من مقامه.

لننظر أولاً في تأثير الكسر على العدد الكلي. إن ضرب أي عدد في قيمة تقل عن الواحد هو بمثابة أخذ جزء أو نسبة مئوية منه، وليس تكراره أو مضاعفته. فمثلاً، حينما نضرب العدد 10 في الكسر ½، فإننا لا نضاعف العشرة، بل نسأل: ما هو نصف العشرة؟ فتكون الحصيلة 5. من هذا المنطلق، يتضح جلياً أن حاصل الضرب سيكون حتماً أقل من العدد الكلي الأصلي، لأننا لم نأخذ العدد كاملاً، بل اقتطعنا منه جزءاً يمثله المقدار الكسري.

والآن، وبالانتقال إلى الطرف الآخر من المعادلة، نتفحص تأثير العدد الكلي على الكسر. نحن نضرب الكسر في عدد أكبر من الواحد الصحيح. هذه العملية تعني أننا نكرر هذا الكسر عدة مرات، مما يؤدي بالضرورة إلى زيادة قيمته الأولية. فإذا أخذنا الكسر ½ وضربناه في 10، فنحن كأننا نجمع ½ + ½ + ½… عشر مرات. من البديهي أن القيمة المستخلصة ستكون أكبر بكثير من الكسر الأصلي (½)، لأننا ضاعفناه بعدد مرات يتجاوز الواحد.

ولكي تتجسد الفكرة بصورة نهائية، لنأخذ مثالاً عملياً: العدد الكلي 6 والكسر الاعتيادي ⅔. عند إجراء عملية التضريب (6 × ⅔)، يمكننا فهمها بطريقتين تكملان بعضهما. الأولى هي أخذ “ثلثي العدد 6″، والناتج هو 4. والثانية هي “تكرار الكسر ⅔ ست مرات”، والناتج هو أيضاً 4. لاحظ الآن موقع الناتج (4)؛ إنه بوضوح أكبر من الكسر الذي بدأنا به (⅔)، وفي الوقت ذاته، هو أصغر من العدد الكلي (6).

خلاصة القول هي أن هذه العملية الرياضية أشبه بتجاذب بين قوتين: العدد الكلي الذي يسعى لـ “تكبير” قيمة الكسر، والكسر الذي يعمل على “تصغير” قيمة العدد الكلي. والنتيجة النهائية، أو حاصل الضرب، هي نقطة التوازن التي تستقر حتماً في المنطقة الوسطى بين القيمتين الأصليتين، متجاوزةً الكسر ولكنها لا تصل أبداً إلى قيمة العدد الكلي الكامل.