فسر العلاقه بين عدد اضلاع المضلع المنتظم وقياس كل زاوية داخليه فيه

فسر العلاقة بين عدد أضلاع المضلع المنتظم وقياس كل زاوية داخلية فيه

شرح العلاقة بالتفصيل

لفهم هذه الصلة العميقة بين هيكل المضلع وقياساته، علينا أن نُرجع أي مضلع إلى مكونه الأساسي، وهو المثلث. إن أي شكل هندسي مغلق ومحدب يمكن تقسيمه بالكامل إلى عدد معين من المثلثات انطلاقاً من أحد رؤوسه. هذه الحقيقة تمثل حجر الزاوية في استنتاج العلاقة، حيث إننا نتعامل مع خصائص المثلث الثابتة، وأهمها أن مجموع زواياه يبلغ 180 درجة على الدوام في نطاق الهندسة الإقليدية.

من هنا، ننتقل إلى الخطوة الجوهرية التالية، وهي تحديد عدد هذه المثلثات داخل المضلع. القاعدة بسيطة ومباشرة: إذا كان للمضلع عدد من الأضلاع نرمز له بالمتغير “ن”، فإن عدد المثلثات التي يمكن رسمها من رأس واحد هو دائمًا (ن – ٢). على سبيل المثال، في المضلع الخماسي (ن=5)، يمكننا رسم قطريْن من رأس واحد، مما يقسم الشكل إلى ثلاثة مثلثات (5 – 2 = 3). وفي الشكل السداسي (ن=6)، نحصل على أربعة مثلثات (6 – 2 = 4)، وهكذا دواليك. هذه الصيغة (ن – ٢) هي المفتاح الحسابي الذي يربط عدد الأضلاع بالتركيب الداخلي للشكل.

بناءً على ما سبق، يصبح حساب مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع بأكمله مسألة ضرب بسيطة. بما أننا نعرف عدد المثلثات المكونة له (ن – ٢)، وكل مثلث منها يمتلك مجموع زوايا يساوي 180 درجة، فإن المجموع الكلي لزوايا المضلع الداخلية هو نتاج ضرب هذين المقدارين: (ن – ٢) × ١٨٠. هذا القانون يمنحنا القيمة الإجمالية لزوايا أي مضلع بمجرد معرفة عدد أضلاعه.

والآن، نأتي إلى السمة التي تميز المضلع المنتظم عن غيره، وهي أن جميع أضلاعه متساوية في الطول، وبالتبعية، فإن جميع زواياه الداخلية متطابقة في القياس. هذه الخاصية، خاصية “الانتظام”، تسمح لنا بتوزيع المجموع الكلي للزوايا الذي حسبناه بالتساوي على جميع رؤوس المضلع. وبما أن للمضلع “ن” من الأضلاع، فإنه يمتلك “ن” من الزوايا أيضاً.

إذن، للوصول إلى قياس الزاوية الواحدة، نقوم بقسمة مجموع قياسات الزوايا الكلي على عددها. فتكون المعادلة النهائية لقياس أي زاوية داخلية في مضلع منتظم هي: [(ن – ٢) × ١٨٠] ÷ ن. تتجلى هنا العلاقة الطردية بوضوح؛ فزيادة قيمة “ن” (عدد الأضلاع) تؤدي حتمًا إلى زيادة قيمة البسط بوتيرة أسرع من المقام، مما ينتج عنه زاوية داخلية أكبر، وهكذا تتشكل العلاقة المتينة بين عدد أضلاع الشكل الهندسي وقياس زواياه.