فسر لماذا يكون أي عدد نسبي كسرا عشريا منتهيا أو دوريا

السؤال: فسر لماذا يكون أي عدد نسبي كسرا عشريا منتهيا أو دوريا

• الإجابة: لأن عملية قسمة بسط العدد النسبي على مقامه تؤدي إلى نتيجتين لا ثالث لهما: إما أن يصل الباقي في مرحلة ما إلى الصفر، فتتوقف القسمة ويكون الكسر العشري منتهياً، أو أن الباقي لا يصل أبداً إلى الصفر، وفي هذه الحالة لا بد لأحد البواقي أن يتكرر، مما يؤدي إلى تكرار نمط معين من الأرقام في الناتج بشكل دوري.

شرح الإجابة:

إن جوهر العدد النسبي يكمن في كونه علاقة ثابتة بين عددين صحيحين، يُعرف الأول بالبسط والآخر بالمقام. ولكي نكشف عن الهيئة العشرية لهذا العدد، فإننا نباشر عملية القسمة المطولة، أي قسمة البسط على المقام. وهنا، في قلب هذه الخوارزمية الحسابية، يكمن السر كاملاً، حيث يتحدد مصير الناتج العشري بناءً على مسار واحد من مسارين فقط.

والمنعطف الحاسم في رحلة تحويل هذا الكسر إلى صورته العشرية يكمن في سلوك “الباقي” من عملية القسمة. ففي كل خطوة من خطوات القسمة، نحصل على رقم جديد في الناتج، ويتبقى لدينا باقٍ نستخدمه في الخطوة التالية. هذا الباقي هو مفتاح اللغز بأكمله، فإما أن يقودنا إلى نهاية واضحة أو إلى حلقة لا متناهية من التكرار.

المسار الأول، وهو الأكثر بساطة، يقودنا إلى الكسر العشري المنتهي. يحدث هذا عندما نصل، خلال عملية القسمة، إلى باقٍ قيمته “صفر”. إن ظهور الصفر كباقٍ يعني أن عملية القسمة قد استُنفذت بالكامل ووصلت إلى نهايتها الطبيعية، فلا يتبقى شيء ليُقسم. وعليه، يتوقف توليد أرقام عشرية جديدة، ويكون التمثيل العشري للعدد النسبي مكتملاً ومنتهياً.

أما المسار الثاني، فهو الذي يكشف عن سر التكرار الدوري. في هذا السيناريو، لا نصل أبداً إلى باقٍ يساوي صفراً مهما استمررنا في عملية القسمة. ولكن، ولأن عدد البواقي الممكنة عند القسمة على عدد ما (المقام) هو عدد محدود تماماً (فالباقي دائماً أصغر من المقام)، فإننا حتماً سنصل إلى باقٍ قد ظهر لنا من قبل في خطوة سابقة. وفي اللحظة التي يتكرر فيها هذا الباقي، فإن سلسلة العمليات الحسابية التي تليه ستتكرر بنفس التسلسل الدقيق، مما يجبر الأرقام في ناتج القسمة على أن تتكرر هي الأخرى بنفس النمط، وهكذا ينشأ الكسر العشري الدوري.

وهكذا، تتجلى الحقيقة الرياضية بشكل قاطع؛ فالعدد النسبي، عند ترجمته إلى صورته العشرية عبر القسمة، محكوم بقانون البواقي. فإما فناء الباقي بالوصول للصفر فينتج كسر عشري منتهٍ، أو استمراريته الحتمية ضمن مجموعة محدودة من القيم، مما يفرض عليه التكرار، وينتج عنه كسر عشري دوري. ولا وجود لاحتمال ثالث في بنية الأعداد النسبية.