في النظام الإحداثي الذي يشير فيه المحور x إلى الشرق ما مدى الزوايا الذي تكون فيه المركبة x موجبة وما مدى الزوايا الذي تكون فيه سالبة

السؤال: في النظام الإحداثي الذي يشير فيه المحور x إلى الشرق ما مدى الزوايا الذي تكون فيه المركبة x موجبة وما مدى الزوايا الذي تكون فيه سالبة

الإجابة: تكون المركبة x موجبة عند الزوايا الأقل من 90° والأكبر من 270° وتكون سالبة عند الزوايا الأكبر من 90° والأقل من 270°

شرح الإجابة:

لفهم هذه العلاقة بدقة، لا بد أولاً من استيعاب طبيعة النظام الإحداثي الديكارتي الذي يُستخدم في تمثيل المتجهات. في هذا النظام، يُعتبر المحور x موجهاً نحو الشرق، بينما يتجه المحور y نحو الشمال. وعند تمثيل أي متجه بزاوية θ تقاس عكس اتجاه عقارب الساعة من المحور x، فإن المركبة الأفقية لهذا المتجه تُحسب باستخدام العلاقة:

المركبة x = r × cosθ

حيث r هو طول المتجه، وcosθ هو جيب التمام للزاوية التي يصنعها المتجه مع المحور الأفقي.

وبما أن دالة جيب التمام تتغير إشارتها حسب الزاوية، فإن تحديد ما إذا كانت المركبة x موجبة أو سالبة يعتمد على موقع الزاوية ضمن الدورة الكاملة التي تمتد من 0° إلى 360°. ويمكن تقسيم هذه الدورة إلى أربع أرباع رئيسية، لكل منها خصائص محددة:

– الربع الأول (من 0° إلى أقل من 90°): في هذا المجال، تكون قيمة cosθ موجبة، مما يعني أن المركبة x تتجه نحو الشرق، أي أنها موجبة.

إقرأ أيضا:المناظرة تركز على حل المشكلة المطروحة لا على الشخص الممتنع صواب خطأ

– الربع الثاني (من أكثر من 90° إلى أقل من 180°): هنا تصبح قيمة cosθ سالبة، مما يدل على أن المركبة x تتجه نحو الغرب، أي أنها سالبة.

– الربع الثالث (من أكثر من 180° إلى أقل من 270°): تستمر قيمة cosθ في كونها سالبة، وبالتالي تبقى المركبة x سالبة.

– الربع الرابع (من أكثر من 270° إلى أقل من 360°): تعود قيمة cosθ لتكون موجبة، فتكون المركبة x موجبة من جديد.

أما عند الزاويتين 90° و270° تحديداً، فإن cosθ = 0، مما يعني أن المركبة x تنعدم تماماً، ويكون المتجه عمودياً على المحور x، أي أنه يتجه إما شمالاً أو جنوباً دون أي مكون أفقي.

من خلال هذا التحليل، يتضح أن الزوايا التي تقع ضمن الفترتين:

– من 0° إلى أقل من 90°

– ومن أكثر من 270° إلى 360°

تنتج مركبة x موجبة، لأن المتجه يميل نحو الشرق.

بينما الزوايا الواقعة بين:

– أكثر من 90° إلى أقل من 270°

تنتج مركبة x سالبة، لأن المتجه يميل نحو الغرب.

هذا التفسير لا يقتصر على الجانب النظري فحسب، بل يُستخدم عملياً في تحليل الحركة، وتحديد الاتجاهات في الفيزياء والهندسة، خاصة في دراسة القوى والمتجهات. فكلما كانت المركبة x موجبة، دلّ ذلك على وجود تأثير أو حركة باتجاه الشرق، أما إذا كانت سالبة، فإن التأثير يكون في الاتجاه المعاكس تماماً، أي نحو الغرب.

إقرأ أيضا:صاحب كتاب في ظلال القرآن فطحل

وبذلك، فإن فهم سلوك دالة cosθ عبر الدورة الزاوية الكاملة يُعد مفتاحاً أساسياً لتحديد اتجاه المركبة الأفقية بدقة، مما يعزز قدرة الطالب على تحليل المتجهات وتوظيفها في التطبيقات العلمية المختلفة.