قمران في مداريهما حول كوكب فإذا كان القمر S1 يستغرق 20 يوما ليدور حول الكوكب ويبعد عن مركزه 2× 10⁵ km في حين أن القمر S2 يستغرق 160 يوما فما بعد القمر S2 عن مركز الكوكب؟

السؤال: قمران في مداريهما حول كوكب فإذا كان القمر S1 يستغرق 20 يوما ليدور حول الكوكب ويبعد عن مركزه 2× 10⁵ km في حين أن القمر S2 يستغرق 160 يوما فما بعد القمر S2 عن مركز الكوكب؟

• الإجابة: 8 × 10⁵ km.

شرح الإجابة:

لفهم حركة الأقمار والأجرام السماوية، لا بد من إدراك وجود قانون كوني ثابت يربط بين سرعة دوران أي جرم والمسافة التي تفصله عن مركز الجسم الذي يدور حوله. هذا المبدأ الفيزيائي يؤكد أن العلاقة بين زمن الدورة المدارية والمسافة ليست عشوائية على الإطلاق، بل تخضع لنظام رياضي دقيق، فكلما زاد بُعد القمر، احتاج إلى زمن أطول لإكمال دورته.

هذا النظام الكوني يُترجم إلى علاقة رياضية محددة تُعرف بقانون كبلر الثالث للحركة الكوكبية. ينص هذا القانون على أن مربع النسبة بين الزمن الدوري لقمرين يدوران حول نفس الكوكب، يساوي تمامًا مكعب النسبة بين متوسط بعديهما عن مركز ذلك الكوكب. هذه الصيغة هي حجر الزاوية الذي سنبني عليه الحل للوصول إلى المسافة المجهولة للقمر الثاني S2.

مهمتنا الآن هي تطبيق هذه القاعدة الفيزيائية. لنعبر عن القانون بالرموز لتسهيل الأمر: (T₁/T₂) ² = (r₁/r₂)³، حيث يمثل T الزمن و r المسافة. بما أن المطلوب هو حساب بعد القمر الثاني (r₂)، فإننا نعيد ترتيب المعادلة لتصبح صيغتها مناسبة لمُعطياتنا، ومن ثم ننتقل مباشرة إلى التعويض بالأرقام الموجودة في السؤال.

بالانتقال إلى الجانب الحسابي، نبدأ أولاً بإيجاد النسبة بين زمني الدوران للقمرين: نقسم زمن القمر الثاني (160 يومًا) على زمن القمر الأول (20 يومًا)، فيكون الناتج 8. وفقًا للقانون الفيزيائي، نقوم بتربيع هذه النسبة (8²)، فنحصل على العدد 64. هذه القيمة تمثل مكعب النسبة بين المسافتين.

للوصول إلى المسافة النهائية، نأخذ الجذر التكعيبي للعدد 64، والذي يساوي 4. هذه القيمة (4) هي النسبة بين بعد القمر الثاني وبعد القمر الأول. وأخيرًا، نضرب هذه النسبة في المسافة المعلومة للقمر الأول: 4 × (2 × 10⁵ كم)، لنصل إلى الإجابة النهائية وهي أن القمر S2 يبعد عن مركز الكوكب مسافة 8 × 10⁵ كيلومتر.