كل من الاحداثيين السيني والصادي لنقطة تقع في الربع الثالث سالب صح أم خطأ وضح اجابتك بإعطاء مثال مضاد

كل من الاحداثيين السيني والصادي لنقطة تقع في الربع الثالث سالب: صح أم خطأ؟

شرح الإجابة:

لإدراك حقيقة هذه القاعدة الرياضية، لا بد من تفكيك بنية المستوى الإحداثي الديكارتي الذي يُعد الخارطة الأساسية لتحديد مواقع النقاط. هذا المستوى ينشأ من تقاطع خطي أعداد متعامدين هما محور السينات (المحور الأفقي x) ومحور الصادات (المحور الرأسي y) عند نقطة محورية تُعرف بـ نقطة الأصل (0,0). هذا التقاطع يقسم الفضاء ثنائي الأبعاد إلى أربعة أرباع مرقمة عكس اتجاه عقارب الساعة، ولكل ربع منها خصائصه الإشارية الفريدة التي تحدد طبيعة أي نقطة تقع ضمن حدوده.

إن ما يميز الربع الثالث تحديداً هو موقعه في الجزء السفلي الأيسر من هذا النظام. ولكي تصل إلى أي نقطة داخل هذا الحيز انطلاقاً من نقطة الأصل، يتطلب المسار حركة باتجاه اليسار على طول محور السينات، وهو ما يمثل قيمة سالبة للمسقط السيني. ثم يستلزم الأمر حركة إلى الأسفل بموازاة محور الصادات، وهذا يمثل بدوره قيمة سالبة للمكون الصادي. بالتالي، فإن أي زوج مرتب (x, y) يمثل نقطة في هذا الربع، لا بد أن يكون كلا مكونيه، السيني والصادي، سالبين بالضرورة.

وهنا نصل إلى جوهر السؤال حول “المثال المضاد”. إن طلب مثال مضاد لإثبات خطأ العبارة هو طلب مستحيل التحقيق، لأن العبارة تمثل تعريفاً أساسياً للربع الثالث. فالمثال المضاد يفترض وجود نقطة في الربع الثالث لا ينطبق عليها هذا الشرط، كأن يكون إحداثيها السيني موجباً أو الصادي موجباً أو كلاهما. مثل هذه النقطة، بحكم تعريف نظام الإحداثيات، لن تقع في الربع الثالث أصلاً، بل ستجد مكانها في الربع الأول (+,+) أو الثاني (-,+) أو الرابع (+,-).

لتوضيح الفكرة بشكل عملي، تأمل النقطة (-4, -6). إن الإحداثي السيني لها هو -4 (حركة لليسار)، والإحداثي الصادي هو -6 (حركة للأسفل)، مما يضعها بوضوح داخل حدود الربع الثالث. الآن، لو حاولنا تقديم مثال مضاد وغيرنا إشارة أحد الإحداثيين فقط، ولتكن النقطة (-4, 6)، فإن هذه النقطة تنتقل فوراً إلى الربع الثاني، وبالتالي لم تعد مثالاً صالحاً لأنها لا تحقق الشرط الأساسي وهو “الوقوع في الربع الثالث”.

خلاصة القول، إن كون كلا الإحداثيين سالبين ليس مجرد خاصية شائعة لنقاط الربع الثالث، بل هو القانون الحتمي الذي يُعرّف وجودها في ذلك الموقع تحديداً. فلا يمكن تصور نقطة تنتمي لهذا الربع وتخالف هذه القاعدة، تماماً كما لا يمكن تصور مثلث بثلاثة أضلاع ومجموع زواياه لا يساوي 180 درجة في الهندسة الإقليدية. إنها حقيقة رياضية مطلقة ومتأصلة في بنية المستوى الإحداثي نفسه.