حل سؤال: للدالة x / 1-x عدم اتصال لا نهائي عند 1=x صواب خطأ
اجابة السؤال هي: صواب.
شرح الإجابة:
لفهم سبب صحة هذه العبارة، يجب علينا أولاً استيعاب مفهوم “عدم الاتصال اللانهائي” في الدوال الرياضية. تخيل أنك تتسلق جبلاً، فإذا وصلت إلى حافة فجأة لا يمكنك القفز من خلالها، فهذا يشبه إلى حد كبير ما يحدث عند نقطة عدم الاتصال.
الدالة التي أمامنا، وهي x مقسومة على (1 ناقص x)، أو رياضياً x / (1 – x)، هي دالة كسرية. الدوال الكسرية، مثل هذه، تثير اهتمامنا بشكل خاص لأنها قد تخفي بعض المفاجآت عند نقاط معينة. هذه النقاط هي القيم التي تجعل المقام (الجزء السفلي من الكسر) يساوي صفراً. لماذا نهتم بأن يكون المقام صفراً؟ لأن القسمة على صفر غير معرفة في الرياضيات، فهي أشبه بمحاولة تقسيم كعكة على لا أحد، لا يمكن تصور ذلك!
في حالتنا هذه، المقام هو (1 – x). إذن، متى يصبح هذا المقام صفراً؟ ببساطة، عندما تكون x مساوية للواحد. وبالتالي، عند x = 1، يصبح لدينا مشكلة كبيرة. دعونا نتخيل أننا نقترب من هذه القيمة، x = 1، من الجانبين.
إذا اقتربنا من الواحد من جهة اليمين، أي قيم أكبر قليلاً من الواحد (مثلاً 1.1، 1.01، 1.001 وهكذا)، فإن قيمة (1 – x) ستكون سالبة وصغيرة جداً. بالتالي، قيمة الدالة x / (1 – x) ستكون سالبة وكبيرة جداً في المطلق، أي أنها تتجه نحو السالب مالانهاية (Negative Infinity).
إقرأ أيضا:من هو سفير السعودية في بريطانياعلى الجانب الآخر، إذا اقتربنا من الواحد من جهة اليسار، أي قيم أصغر قليلاً من الواحد (مثلاً 0.9، 0.99، 0.999 وهكذا)، فإن قيمة (1 – x) ستكون موجبة وصغيرة جداً. في هذه الحالة، قيمة الدالة x / (1 – x) ستكون موجبة وكبيرة جداً، أي أنها تتجه نحو الموجب مالانهاية (Positive Infinity).
هذا الاختلاف في السلوك، حيث تتجه الدالة نحو قيمتين مختلفتين (موجب وسالب مالانهاية) عند الاقتراب من نقطة معينة (x = 1)، هو ما يميز عدم الاتصال اللانهائي. بمعنى آخر، الدالة “تقفز” فجأة من قيمة سالبة كبيرة جداً إلى قيمة موجبة كبيرة جداً (أو العكس) عند هذه النقطة.
للتأكيد على هذه الفكرة، يمكننا أن نتخيل رسم هذه الدالة على ورقة. سترى أن الرسم البياني للدالة يقترب من الخط الرأسي x = 1 من الجانبين، ولكن بدلاً من أن يتقاطع معه بسلاسة، فإنه “يهرب” إلى الأعلى والأسفل بشكل غير محدود. هذا الخط الرأسي x = 1 يسمى خط التقارب الرأسي (Vertical Asymptote)، وهو مؤشر قوي على وجود عدم اتصال لانهائي.
إضافة إلى ذلك، يمكننا النظر إلى مفهوم النهايات (Limits) في حساب التفاضل والتكامل. النهاية هي القيمة التي تقترب منها الدالة عندما تقترب المتغير المستقل (x في حالتنا) من قيمة معينة. في هذه الحالة، النهاية من جهة اليمين ومن جهة اليسار عند x = 1 غير متساويتين، وهذا أيضاً دليل على وجود عدم اتصال.
إقرأ أيضا:عند الذهاب إلى مكان جديد، كيف تفضل معرفة الطريق؟لذا، وباختصار، وجود عدم الاتصال اللانهائي عند x = 1 للدالة x / (1 – x) يعود إلى أن المقام يصبح صفراً عند هذه القيمة، مما يؤدي إلى سلوك غير محدود للدالة من كلا الجانبين. هذا السلوك يتجلى في وجود خط تقارب رأسي واختلاف النهايات من اليمين واليسار.
أخيراً، لا بد من الإشارة إلى أن هناك أنواعاً أخرى من عدم الاتصال في الدوال، مثل عدم الاتصال القابل للإزالة (Removable Discontinuity) حيث يمكن “إصلاح” الدالة عن طريق إعادة تعريفها عند تلك النقطة، و عدم الاتصال القفزي (Jump Discontinuity) حيث تقفز الدالة فجأة من قيمة إلى أخرى. لكن في حالتنا هذه، عدم الاتصال هو من النوع اللانهائي بسبب السلوك غير المحدود للدالة.