السؤال: ما حل نظام المعادلتين الآتيتين س + 4ص = 1 ، 2س – 3ص = -9
- الإجابة: ( -3 ، 1)
شرح الإجابة:
إن التعامل مع نظام من المعادلات الخطية يقتضي البحث عن نقطة وحيدة، زوج مرتب فريد من (س، ص) يحقق كلا الشرطين في آن واحد. فالمعادلة الأولى تمثل قيداً، والثانية تمثل قيداً آخر، والحل هو ذلك الموضع الذي يلتزم بكلا القيدين دون استثناء. ولكشف هذا الحل، نتبع مساراً منطقياً دقيقاً يعرف بطريقة الحذف، وهي استراتيجية تقوم على إقصاء أحد المتغيرين مؤقتاً لتسهيل حساب الآخر.
بالنظر إلى المنظومة المعطاة: المعادلة الأولى هي س + 4ص = 1، والثانية هي 2س – 3ص = -9. نلاحظ أن معامل المتغير “س” في المعادلة الأولى هو 1، بينما في الثانية هو 2. من هذا المنطلق، يمكننا تهيئة المعادلتين لعملية الحذف عبر ضرب المعادلة الأولى بأكملها في العدد (-2). هذه الخطوة الجوهرية ستجعل معامل “س” في المعادلة الأولى نظيراً جمعياً لمعامله في المعادلة الثانية، مما يمهد الطريق لإلغائهما عند الجمع.
عند تنفيذ هذه العملية، تتحول المعادلة الأولى (س + 4ص = 1) إلى صورة جديدة مكافئة هي: -2س – 8ص = -2. والآن، نضع هذه المعادلة المحوّرة تحت المعادلة الثانية الأصلية ونقوم بجمعهما رأسياً. يترتب على هذا الجمع أن (-2س) تلغي (+2س)، وهو الهدف المنشود من العملية برمتها. وما يتبقى لدينا هو معادلة بسيطة في متغير واحد: (-8ص) + (-3ص) = (-2) + (-9)، والتي تبسط إلى -11ص = -11.
بمجرد الوصول إلى هذه المعادلة المبسطة، يصبح استخلاص قيمة “ص” أمراً يسيراً. فبقسمة طرفي المعادلة على (-11)، تتجلى لنا القيمة الصريحة للمتغير “ص” وهي 1. بعد أن اتضحت لنا قيمة أحد المجهولين، ننتقل إلى المرحلة التالية وهي الكشف عن قيمة “س”. نأخذ القيمة المكتشفة (ص = 1) ونقوم بتعويضها في أي من المعادلتين الأصليتين، ولنختر الأولى لبساطتها: س + 4ص = 1.
بالتعويض، تصبح المعادلة: س + 4(1) = 1، أي س + 4 = 1. وبإعادة ترتيب بسيطة عبر طرح 4 من كلا الطرفين، نصل إلى النتيجة النهائية للمتغير الثاني: س = -3. وهكذا، يتكشف لنا أن الزوج المرتب الذي يمثل نقطة التقاطع بين هذين الخطين المستقيمين، والذي يحقق شروط النظام بالكامل، هو (-3 ، 1).