مثل أحمد حل المتباينة |2أ – 3| > 1 كما في الشكل المجاور فهل كان على صواب؟ فسر إجابتك

السؤال: مثل أحمد حل المتباينة |2أ – 3| > 1 كما في الشكل المجاور فهل كان على صواب؟ فسر إجابتك.

• الإجابة: لا، لم يكن أحمد على صواب.

شرح الإجابة:

إن الإجابة التي توصل إليها أحمد لا تعكس الحل الصحيح الكامل لهذه المسألة الرياضية، والسبب الجوهري يكمن في كيفية التعامل مع معادلات القيمة المطلقة التي تتضمن علاقة التباين “أكبر من”. فعندما نواجه متباينة بهذا الشكل، يتوجب علينا تفكيكها إلى حالتين منفصلتين لمعالجة الطبيعة المزدوجة للقيمة المطلقة.

أولاً، ننظر إلى الحالة الموجبة، وهي المسار الذي يبدو أن أحمد قد اتبعه جزئياً. في هذه الحالة، نزيل علامتي القيمة المطلقة دون أي تغيير، فتصبح المتباينة: 2أ – 3 > 1. وبحل هذه المعادلة البسيطة، نضيف 3 إلى كلا الطرفين لنحصل على 2أ > 4، ومن ثم نقسم على 2، مما يقودنا إلى النتيجة الأولى وهي أ > 2.

وهنا نصل إلى المنعطف الحاسم الذي أغفله أحمد، ألا وهو الحالة السالبة. في هذا السيناريو، لا يكفي فقط وضع إشارة سالبة، بل يجب عكس اتجاه رمز المتباينة بالكامل. بالتالي، تتحول المعادلة الأصلية إلى: 2أ – 3 < -1. لاحظ كيف انقلبت إشارة “أكبر من” إلى “أصغر من”. وبمتابعة الحل، نضيف 3 إلى الطرفين فتكون النتيجة 2أ < 2، وبعد القسمة على 2، نصل إلى الحل الثاني وهو أ < 1. إن هذا الانقلاب في علاقة التباين ليس خطوة عشوائية، بل هو ضرورة منطقية لضمان صحة الحل رياضياً.

وعليه، فإن مجموعة الحل الصحيحة ليست فترة واحدة متصلة، بل هي اتحاد فترتين منفصلتين على خط الأعداد: جميع الأعداد الأكبر من 2، بالإضافة إلى جميع الأعداد الأصغر من 1. الخطأ الذي وقع فيه أحمد يتركز تحديداً في إهماله لقلب إشارة المتباينة عند التعامل مع الحالة السالبة، مما أدى إلى تمثيل بياني خاطئ للحلول الممكنة.