مربع داخل دائرة متماس معها ، محيط المربع = ٣٢ فأوجد نصف قطر الدائرة

السؤال: مربع داخل دائرة متماس معها، محيط المربع = ٣٢، فأوجد نصف قطر الدائرة.

شرح الإجابة:

لفهم هذه المسألة الهندسية، يجب أن نتخيل المشهد بدقة: لدينا دائرة وفي صميمها مربع، بحيث تلامس رؤوس المربع الأربعة محيط الدائرة الداخلي بشكل تام. هذا التماس هو نقطة الانطلاق وجوهر العلاقة بين الشكلين. المعطى الأساسي لدينا هو محيط المربع، والذي يبلغ ٣٢ وحدة، والمطلوب هو تحديد قياس نصف قطر الدائرة التي تحتويه.

لنبدأ بالمعلومة الواضحة، وهي محيط المربع. بما أن المربع يتألف من أربعة أضلاع متساوية في الطول، فإن معرفة محيطه تجعل حساب طول الضلع الواحد أمراً مباشراً. نقوم ببساطة بقسمة المحيط الكلي على عدد الأضلاع، أي ٣٢ مقسومة على ٤. ينتج عن هذه العملية الحسابية أن طول كل ضلع من أضلاع المربع هو ٨ وحدات. هذه هي الخطوة الأولى واللبنة الأساسية التي سنبني عليها باقي الحل.

وهنا تكمن النقطة المحورية التي تربط بين المربع والدائرة. إن الخط المستقيم الذي يصل بين رأسين متقابلين في المربع، والذي يُعرف بـ “قُطر المربع”، هو في حقيقة الأمر “قُطر الدائرة” نفسها. هذا التطابق ليس من قبيل الصدفة، بل هو نتيجة حتمية لوجود المربع متماساً بشكل كامل داخل الدائرة. إدراك هذا الترابط الهندسي هو مفتاح الانتقال من أبعاد المربع إلى أبعاد الدائرة.

الآن، يتوجب علينا حساب طول قطر المربع. يمكننا النظر إلى هذا القطر على أنه الوتر في مثلث قائم الزاوية، ضلعاه هما ضلعان متجاوران في المربع. بتطبيق نظرية فيثاغورس الشهيرة، نجد أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. وعليه، فإن (طول القطر)² = (٨)² + (٨)²، وهو ما يساوي ٦٤ + ٦٤ = ١٢٨. ولإيجاد طول القطر نفسه، نأخذ الجذر التربيعي للعدد ١٢٨.

يمكن تبسيط الجذر التربيعي لـ ١٢٨، حيث إن ١٢٨ هو حاصل ضرب ٦٤ في ٢. وبما أن الجذر التربيعي لـ ٦٤ هو ٨، فإن الجذر التربيعي لـ ١٢٨ يساوي ٨ جذر ٢. وبذلك، نكون قد توصلنا إلى أن طول قطر المربع، وبالتالي قطر الدائرة، هو ٨ جذر ٢.

وهكذا، نصل إلى المحطة الأخيرة في رحلة الحل. السؤال يطلب نصف قطر الدائرة، وليس قطرها الكامل. والعلاقة بينهما بسيطة للغاية؛ فنصف القطر هو نصف القطر الكامل. بناءً على ذلك، نقسم قيمة القطر التي أوجدناها (٨ جذر ٢) على ٢. تكون النتيجة النهائية هي ٤ جذر ٢، وهو قياس نصف قطر الدائرة بدقة.