السؤال: وجد عالم آثار في منطقة ما قطعة فخارية عند النقطة (2 ، 6) وقطعة معدنية عند النقطة (4 ، -1) فهل يتعامد المستقيم المار بكل من القطعة الفخارية والقطعة المعدنية مع المستقيم المار بالنقطتين (7 ، 10) ، (14 ، 12) ؟ فسر إجابتك.
- الإجابة: نعم، المستقيمان متعامدان؛ لأن ميل المستقيم الأول هو -7/2، وميل المستقيم الثاني هو 2/7، وحاصل ضرب الميلين يساوي -1.
شرح الإجابة:
إن جوهر هذه المسألة الهندسية يكمن في تحديد العلاقة بين خطين مستقيمين في المستوى الإحداثي، وتحديداً ما إذا كانا يشكلان زاوية قائمة عند تقاطعهما. ولكي نصل إلى استنتاج دقيق، فإن المنهجية الرياضية تقتضي حساب ميل كل مستقيم على حدة، فالميل هو المقياس العددي الذي يصف درجة انحدار الخط المستقيم.
لنبدأ بالمسار الأول، وهو الخط المستقيم الذي يصل بين موقع القطعة الفخارية (2 ، 6) والقطعة المعدنية (4 ، -1). يُحسب الميل من خلال قسمة فرق الإحداثيات الصادية (التغير الرأسي) على فرق الإحداثيات السينية (التغير الأفقي). بتطبيق هذه القاعدة، يكون الحساب كالتالي: ((-1) – 6) مقسوماً على (4 – 2)، مما يعطينا الناتج -7 / 2. هذا الرقم السالب الكبير يشير إلى أن الخط ينحدر بشدة نحو الأسفل من اليسار إلى اليمين.
والآن، نوجه اهتمامنا إلى المستقيم الثاني، المار بالنقطتين (7 ، 10) و(14 ، 12). باستخدام ذات المنهجية الحسابية، نجد أن معدل تغير هذا الخط هو (12 – 10) مقسوماً على (14 – 7)، والنتيجة هي 2 / 7. هذا الميل الموجب الصغير يدل على أن الخط يرتفع بشكل طفيف نحو الأعلى من اليسار إلى اليمين.
وهنا يكمن مفتاح الحل وبرهان التعامد. في عالم الهندسة التحليلية، تكون العلاقة بين مستقيمين متعامدين محكومة بشرط صارم: يجب أن يكون حاصل ضرب ميليهما مساوياً للعدد (-1) بالضبط. عند تطبيق هذا الشرط على النتائج التي توصلنا إليها، نجد أن (-7/2) × (2/7) = -14 / 14 = -1. يمكن النظر إلى الأمر بطريقة أخرى أيضاً، وهي أن ميل أحد المستقيمين هو “المقلوب السالب” لميل الآخر؛ فإذا قلبنا الكسر 2/7 نحصل على 7/2، وعند عكس إشارته يصبح -7/2، وهو ميل المستقيم الأول تماماً. بما أن هذا الشرط الجوهري قد تحقق، فإن الاستنتاج الحتمي هو أن المستقيمين متعامدان بالفعل.