السؤال: وضح إذا كانت العبارة: إذا كان أ > ب فإن 1/أ > 1/ب. صحيحة أحياناً أم دائماً أم غير صحيحة أبداً، وفسر إجابتك.
- الإجابة: هذه العبارة صحيحة أحياناً.
شرح الإجابة:
إن العلاقة بين عدد ومقلوبه الضربي ليست علاقة ثابتة ومباشرة كما قد تبدو للوهلة الأولى. والحكم على صحة هذه المتباينة يتطلب منا تفكيكها والغوص في الحالات المختلفة التي يمكن أن يتخذها العددان “أ” و “ب” على خط الأعداد الحقيقية، فالأمر يعتمد بشكل جوهري على إشارة كل منهما.
لنتأمل الحالة الأولى، عندما يكون العددان “أ” و “ب” موجبين. لنفترض أن أ = 5 و ب = 2. من الواضح أن 5 > 2، ولكن عند حساب مقلوب كل منهما، نجد أن 1/5 = 0.2 بينما 1/ب = 0.5. هنا، نرى أن علاقة الترتيب قد انعكست تماماً، فأصبح 1/5 < 1/2. إذن، العبارة تكون خاطئة عندما يكون العددان موجبين.
ننتقل الآن إلى سيناريو مغاير، حيث يكون العددان سالبين. لنختر أ = -2 و ب = -4. هنا، يتحقق الشرط الأولي وهو أ > ب لأن -2 أكبر من -4. لكن عند أخذ المقلوب، فإن 1/أ = -0.5 و 1/ب = -0.25. مرة أخرى، نجد أن -0.5 أصغر من -0.25، مما يعني أن 1/أ < 1/ب. وهكذا، يتضح أن العبارة غير صحيحة أيضاً في عالم الأعداد السالبة.
إقرأ أيضا:صاحب فكرة أن المادة تتكون من دقائق صغيرة تسمى ذرات هو العالموهنا يكمن مفتاح الفهم في الحالة الأخيرة التي تجعل من هذه العبارة صحيحة أحياناً. ماذا لو كان العددان مختلفي الإشارة؟ لنفترض أن “أ” عدد موجب و “ب” عدد سالب، مثلاً أ = 3 و ب = -4. الشرط أ > ب متحقق لأن أي عدد موجب هو حتماً أكبر من أي عدد سالب. عند النظر إلى مقلوبيهما، سنجد أن 1/أ هو عدد موجب (1/3)، بينما 1/ب هو عدد سالب (-1/4). وبديهياً، أي قيمة موجبة هي دائماً وأبداً أكبر من أي قيمة سالبة. في هذه الحالة تحديداً، تكون المتباينة 1/أ > 1/ب صحيحة بشكل مطلق.
إقرأ أيضا:اكتب مسألة يمكن حلها بالبحث عن نمطخلاصة القول، إن صحة هذه العبارة الرياضية ليست مطلقة ولا منعدمة، بل هي مشروطة. فهي تصح في حالة واحدة فقط: عندما يكون العدد الأكبر “أ” موجباً والعدد الأصغر “ب” سالباً. أما في حال كان العددان يتشاركان الإشارة نفسها، سواء كانت موجبة أم سالبة، فإن علاقة الترتيب بين مقلوبيهما تنعكس، مما يجعل العبارة خاطئة.