وضح كيف يمكنك أن تحدد ما إذا كان مستقيمان معطيان متوازيين أم متعامدين

السؤال: وضح كيف يمكنك أن تحدد ما إذا كان مستقيمان معطيان متوازيين أم متعامدين

• الإجابة: إذا كان ميل المستقيمين متساوياً فإنهما متوازيان، وإذا كان حاصل ضرب ميلهما يساوي -1 فإنهما متعامدان.

شرح الإجابة:

في عالم الهندسة الإحداثية، لكل خط مستقيم بصمة فريدة تصف اتجاهه ومقدار انحداره في المستوى، وهذه البصمة تُعرف بمصطلح “الميل”. إن فهم هذا المفهوم هو حجر الزاوية الذي يمكّننا من فك شفرة العلاقة بين أي مستقيمين، وتحديد طبيعتها بدقة متناهية. فالميل ليس مجرد رقم، بل هو الحاكم الذي يفصل في طبيعة العلاقة الهندسية بين الخطوط.

لننتقل أولاً إلى حالة التوازي. تخيل خطين يسيران جنباً إلى جنب كمساري قطار، لا يلتقيان أبداً مهما امتدا. هذه الصورة الذهنية تعني بالضرورة أنهما يتشاركان نفس درجة الميلان أو الانحدار تماماً. وعليه، فإن القاعدة المنطقية والحتمية هي: إذا تطابق ميل المستقيم الأول مع ميل المستقيم الثاني، أي كان لهما القيمة العددية ذاتها، فإن هذين المستقيمين متوازيان. فالتساوي في الميل هو مرادف للتوازي في الشكل الهندسي.

أما في حالة التعامد، فالأمر يكتسب بُعداً مختلفاً وأكثر تركيباً. هنا، لا يسير المستقيمان جنباً إلى جنب، بل يتقاطعان ليشكّلا زاوية قائمة مثالية، مقدارها 90 درجة، كما في زوايا مربع أو تقاطع شارعين بشكل نموذجي. هذه العلاقة الصارمة تنعكس في علاقة رياضية دقيقة بين ميليهما. لا بد أن يكون حاصل ضرب ميل المستقيم الأول في ميل المستقيم الثاني مساوياً للعدد (-1) تحديداً. على سبيل المثال، إذا كان ميل أحد المستقيمين هو 2، فإن ميل المستقيم العمودي عليه يجب أن يكون (-1/2)، لأن حاصل ضربهما (2 × -1/2) يساوي -1. هذه القاعدة هي المعيار القاطع لإثبات التعامد.

والخلاصة تتلخص في أن “المعامل التوجيهي” أو الميل هو الفيصل في هذه المسألة. فبمجرد استخلاص قيمة ميل كل مستقيم من معادلته، تصبح قادراً على كشف العلاقة الخفية بينهما. مقارنة بسيطة للقيمتين تكشف لك التوازي، وعملية ضرب سريعة تحسم لك أمر التعامد. وبهذا، يتحول السؤال الهندسي المعقد إلى عملية حسابية مباشرة وواضحة، أساسها فهم جوهر الميل ودلالته.