وضح كيف يمكنك تعرف نظام المعادلتين الخطيتين الذي له عدد لا نهائي من الحلول

السؤال: وضح كيف يمكنك تعرف نظام المعادلتين الخطيتين الذي له عدد لا نهائي من الحلول؟

شرح الإجابة:

إن فهم نظام المعادلات الخطية هو أساسي في علم الجبر، وهو يمثل مجموعة من التعبيرات الرياضية التي تسعى للعثور على نقاط مشتركة. في البداية، دعونا نتخيل هذا النظام على أنه رسم بياني: فكل معادلة خطية تمثل خطاً مستقيماً على المستوى الديكارتي. عندما نتحدث عن “حلول” للنظام، فإننا نبحث عن النقاط التي يلتقي فيها هذان الخطان. في معظم الحالات، يتقاطع الخطان في نقطة واحدة فقط، مما يعني وجود حل وحيد. لكن الحالة التي تحتوي على عدد لا نهائي من الحلول تمثل ظاهرة رياضية فريدة تستدعي التركيز.

لكي نرى الصورة بشكل أوضح، يجب أن نفهم متى يكون الخطان متطابقين. يحدث هذا عندما تكون المعادلة الأولى في النظام هي مجرد نسخة مكبرة أو مصغرة من المعادلة الثانية. بعبارة أخرى، عندما تضرب جميع معاملات إحدى المعادلتين في عدد ثابت (مضاعف) لتعطيك المعادلة الأخرى، فهذا يعني أن كلا التعبيرين الرياضيين يصفان نفس الخط المستقيم تماماً.

ما يثير الاهتمام حقاً في هذه الحالة هو أن هذين الخطين يتطابقان كلياً. عندما يكون الخطان متراكبين، فإنهما يتقاطعان في كل نقطة على طولهما. ونتيجة لذلك، فإن كل نقطة تقع على هذا الخط المشترك هي حل للنظام. وبما أن الخط المستقيم يحتوي على عدد لا نهائي من النقاط، فإن النظام بأكمله يمتلك عدد لا نهائي من الحلول. بالمقابل، عندما تكون الخطوط متوازية وغير متطابقة، لا يوجد تقاطع، وبالتالي لا توجد حلول.

للتأكد من أننا نتعامل مع نظام حلوله غير محدودة، يمكننا اختبار ذلك عن طريق إعادة ترتيب المعادلات. إذا قمت بتبسيط كل معادلة بشكل مستقل، أو إذا حاولت طرح إحداهما من الأخرى، ستجد أن جميع المتغيرات والمضاعفات الثابتة تختفي، وينتج عن ذلك عبارة رياضية صحيحة مثل “صفر يساوي صفر” (0=0). هذه النتيجة تؤكد بشكل قاطع أن النظام هو نظام خطوط متطابقة ومتشابكة، وبالتالي فإن إيجاد عدد لا نهائي من الحلول هو النتيجة الحتمية لهذه العلاقة الجبرية.