السؤال: يحتاج أورانوس إلى 84 سنة ليدور حول الشمس احسب نصف قطر مدار أورانوس بدلالة نصف قطر مدار الأرض
- الإجابة: نصف قطر مدار أورانوس يساوي 19 ضعف نصف قطر مدار الأرض تقريبًا (rᵤ ≈ 19 rₑ).
شرح الإجابة:
لفهم هذه العلاقة بين زمن دوران كوكب حول الشمس وبُعده عنها، لا بد من العودة إلى أحد القوانين الكونية الأساسية التي تنظم حركة الأجرام السماوية في مجموعتنا الشمسية.
هذا القانون، الذي يُعرف بقانون كبلر الثالث، يضع قاعدة رياضية ثابتة تربط بين الفترة المدارية لأي كوكب، أي الزمن الذي يستغرقه لإكمال دورة واحدة، وبين متوسط المسافة التي تفصله عن الشمس.
جوهر هذا المبدأ الفيزيائي هو أن مربع الزمن الدوري لكوكب يتناسب تناسبًا طرديًا مع مكعب نصف قطره المداري. وبصيغة أبسط، كلما ابتعد الكوكب عن الشمس، احتاج إلى زمن أطول بكثير لإتمام دورته، وليس فقط لأن مساره أصبح أطول، بل لأن سرعته المدارية تقل أيضا.
يمكننا التعبير عن هذه العلاقة بين كوكب أورانوس والأرض بالمعادلة التالية: مربع النسبة بين زمنيهما المداري يساوي مكعب النسبة بين نصف قطر مداريهما.
انطلاقًا من هنا، نبدأ بالتعويض بالمعطيات التي بين أيدينا. الزمن الدوري لأورانوس هو 84 سنة أرضية، بينما الزمن الدوري للأرض هو سنة واحدة.
فعند تطبيق هذه الأرقام في المعادلة، نجد أن مربع النسبة (84 قسمة 1) يساوي 7056. هذا الرقم الهائل يمثل مكعب النسبة بين بُعد أورانوس عن الشمس وبُعد الأرض عنها.
والخطوة الأخيرة للوصول إلى الحل تتطلب منا إجراء عملية حسابية بسيطة، وهي أخذ الجذر التكعيبي للرقم 7056. هذه العملية تكشف لنا عن النسبة الحقيقية بين المسافتين. ناتج الجذر التكعيبي هو 19.18 تقريبًا.
وهذا يقودنا مباشرةً إلى الاستنتاج بأن نصف قطر مدار كوكب أورانوس يعادل حوالي 19 ضعف نصف قطر مدار كوكبنا الأرض، مما يرسم لنا صورة واضحة عن الأبعاد الشاسعة التي تفصل بين الكواكب في رحلتها الأبدية حول الشمس.