يكتب كل من أنس وأيمن معادلة المستقيم المار بالنقطتين (3 ، -7) ، (-6 ، 4) بصيغة الميل ونقطة فأيهما إجابته صحيحة فسر ذلك؟

السؤال: يكتب كل من أنس وأيمن معادلة المستقيم المار بالنقطتين (3 ، -7) ، (-6 ، 4) بصيغة الميل ونقطة فأيهما إجابته صحيحة فسر ذلك؟

• الإجابة: كلاهما إجابته خاطئة؛ فقد استعمل أنس النقطة (-3 ، 7) بدلاً من (3 ، -7)، واستعمل أيمن التغير في س مقسوماً على التغير في ص.

شرح الإجابة:

إن الوصول إلى المعادلة الصحيحة لخط مستقيم يمر عبر نقطتين محددتين يتطلب الدقة المطلقة في خطوتين أساسيتين لا ثالث لهما: الأولى هي حساب ميل المستقيم أو ما يعرف بمعامل الانحدار، والثانية هي الاستخدام الدقيق لإحداثيات إحدى النقطتين. بناءً على هذا المبدأ، فإن أي خلل في أي من هذين الركنين يؤدي حتماً إلى نتيجة غير صحيحة، وهو ما حدث في كلتا المحاولتين.

بالنظر إلى محاولة أيمن، نجد أن الخطأ يكمن في جوهر العملية الحسابية. إن المفهوم الأساسي للميل (م) في الهندسة الإحداثية هو ناتج قسمة التغير في الإحداثي الصادي (التغير الرأسي) على التغير في الإحداثي السيني (التغير الأفقي). عند تطبيق ذلك على النقطتين (3 ، -7) و (-6 ، 4)، يكون الميل الصحيح هو (4 – (-7)) مقسوماً على (-6 – 3)، مما ينتج عنه -11/9. لكن أيمن قام بعكس هذه القاعدة الجوهرية، حيث قسم التغير في السينات على التغير في الصادات، وهذا خطأ مفاهيمي يبطل صحة المعادلة منذ لحظة البداية.

أما بالنسبة لأنس، فإن إخفاقه ينبع من مصدر مختلف تماماً. فبينما قد يكون اتبع المنهجية الصحيحة، إلا أنه تعثر في دقة المعطيات. لقد استعمل النقطة (-3 ، 7)، وهي نقطة مختلفة كلياً عن أي من النقطتين الأصليتين المعطاتين في السؤال. في عالم الإحداثيات، تغيير إشارة واحدة يغير موقع النقطة بالكامل على المستوى الديكارتي. وبالتالي، حتى مع وجود ميل صحيح، فإن إدخال نقطة لا تنتمي إلى المستقيم الأصلي سينتج عنه معادلة لخط آخر يوازيه أو يتقاطع معه، ولكنه بالتأكيد ليس الخط المستقيم المطلوب.

خلاصة القول هي أن كلتا الإجابتين غير صحيحة، ولكن لأسباب متباينة تكشف عن أهمية التكامل بين الفهم النظري والدقة التطبيقية. لقد أخطأ أيمن في “العملية” نفسها، بينما أخطأ أنس في “المدخلات”. وفي الرياضيات، لا يمكن فصل صحة المنهجية عن دقة البيانات المستخدمة، فكلاهما شرط لازم للوصول إلى حل سليم وموثوق.