أعط مثالا مضادا للعبارة الآتية كل الجذور التربيعية أعداد غير نسبية فسر إجابتك

السؤال: أعط مثالا مضادا للعبارة الآتية : كل الجذور التربيعية أعداد غير نسبية فسر إجابتك.

• الإجابة: جذر 4

شرح الإجابة:

إن الادعاء بأن “كل الجذور التربيعية أعداد غير نسبية” هو تعميم شامل يتطلب أن تنطبق هذه القاعدة على كل جذر تربيعي دون أي استثناء. ولكن في عالم الرياضيات، يكفي مثال واحد فقط، مثال مضاد، لكي ينهار صرح التعميم بأكمله. ولكي نفهم هذا الأمر بعمق، يجب أولاً أن نميز بين فئتين أساسيتين من الأعداد: الأعداد النسبية وتلك غير النسبية. العدد النسبي هو أي عدد يمكن التعبير عنه على هيئة كسر (بسط ومقام)، وتشمل هذه الفئة الأعداد الصحيحة. أما العدد غير النسبي، فهو على النقيض تماماً، إذ يستحيل كتابته على صورة كسر بسيط، وتستمر أرقامه العشرية إلى ما لا نهاية دون نمط متكرر.

وهنا يكمن جوهر البرهان، حيث نصطدم بحقيقة رياضية بسيطة عند تحليل المثال المضاد المقترح وهو جذر 4. إن عملية استخراج الجذر التربيعي للعدد 4 تسألنا عن العدد الذي إذا ضُرب في نفسه يكون الناتج 4، والإجابة الواضحة هي العدد 2. والآن، ننتقل إلى تصنيف هذا الناتج. العدد 2 هو عدد صحيح، وكل عدد صحيح هو بالضرورة عدد نسبي، لأنه يمكن التعبير عنه ككسر مقامه العدد واحد، أي 2/1.

وبالتالي، لقد وجدنا جذراً تربيعياً (جذر 4) ناتجه عدد نسبي (العدد 2). هذا الاكتشاف وحده يهدم الفرضية الأولية من أساسها، ويثبت بشكل قاطع أنها خاطئة. فالقاعدة لا تصمد أمام هذا الاستثناء الواضح. إن هذه الحالة ليست فريدة من نوعها، بل هي نمط ينطبق على جميع “المربعات الكاملة” مثل 9 و 16 و 25، فجذورها التربيعية (3، 4، 5) هي أعداد صحيحة، وبالتالي نسبية، مما يؤكد أن طائفة كبيرة من الجذور التربيعية تقع خارج نطاق الأعداد غير النسبية.