اختر كسرين بحيث يكون ناتج ضربهما أكبر من 1 2 وأصغر من 1 واستعمل خط الأعداد لتبرير إجابتك

السؤال: اختر كسرين بحيث يكون ناتج ضربهما أكبر من 1/2 وأصغر من 1 واستعمل خط الأعداد لتبرير إجابتك

• الإجابة: يمكن اختيار الكسرين ٣/٤ و ٤/٥.

شرح الإجابة:

إن فهم العلاقات بين الأعداد النسبية يتطلب نظرة متعمقة تتجاوز مجرد إجراء العمليات الحسابية. لننطلق في رحلتنا من اختيار قيمتين كسريتين هما ثلاثة أرباع (٣/٤) وأربعة أخماس (٤/٥). كلتا القيمتين تقل عن الواحد الصحيح، ولكنها في ذات الوقت قيمٌ كبيرة نسبياً تقترب منه، وهذا الاختيار المبدئي يوحي بأن حاصل ضربهما لن يكون مقداراً ضئيلاً.

عند الشروع في عملية الضرب، نقوم بضرب البسط في البسط (٣ × ٤ = ١٢) والمقام في المقام (٤ × ٥ = ٢٠)، فتكون الحصيلة العددية هي ١٢/٢٠. هذا المقدار يمكن تبسيطه للوصول إلى صورته النهائية الأكثر وضوحاً. بقسمة كل من البسط والمقام على العامل المشترك الأكبر بينهما وهو العدد ٤، نصل إلى الكسر المكافئ ٣/٥. إذن، ناتج الضرب هو ثلاثة أخماس.

والآن، يأتي الجزء الجوهري من التحليل، وهو التحقق من أن هذه النتيجة (٣/٥) تقع بالفعل في النطاق المطلوب بين النصف (١/٢) والواحد الصحيح (١). من البديهي أن ٣/٥ أصغر من الواحد لأن بسطه أقل من مقامه. لكن الاختبار الحقيقي يكمن في مقارنته بالنصف. لتوحيد المقامات وتسهيل المقارنة، نحول ١/٢ إلى ٥/١٠، ونحول ٣/٥ إلى ٦/١٠. يتضح جلياً أن ٦/١٠ أكبر من ٥/١٠، مما يثبت أن ٣/٥ أكبر من ١/٢.

أما البرهان القاطع فيتجلى عند استعراض خط الأعداد. تخيل خطاً مستقيماً يبدأ من الصفر وينتهي عند الواحد. النقطة التي تمثل المنتصف تماماً هي ١/٢. لتحديد موقع ناتجنا (٣/٥)، نقسم المسافة بين الصفر والواحد إلى خمسة أجزاء متساوية، وستكون علامتنا عند الجزء الثالث. بمجرد النظر، ستلاحظ أن موقع (٣/٥) يتجاوز بوضوح نقطة المنتصف (١/٢) ولكنه لا يصل إلى نهاية الخط عند الواحد. هذا التمثيل البصري يقدم تبريراً لا يقبل الجدل، ويثبت أن حاصل الضرب يقع بدقة في المجال المحدد بين النصف والواحد.