أعط مثالا لكسر عشري دوري يتكرر فيه رقمان ووضح لماذا يعتبر عددا نسبيا

السؤال: أعط مثالا لكسر عشري دوري يتكرر فيه رقمان ووضح لماذا يعتبر عددا نسبيا.

• الإجابة: المثال هو العدد العشري الدوري …٠,١٢، حيث يتكرر الرقمان ١ و ٢ إلى ما لا نهاية. ويُعتبر هذا المقدار عدداً نسبياً لأنه يمكن التعبير عنه بصورة دقيقة على هيئة الكسر الاعتيادي ٤/٣٣.

شرح الإجابة:

دعنا نتأمل في طبيعة هذا العدد الذي يبدو ظاهريًا أنه يمتد بلا توقف. إن القيمة …٠,١٢ ليست مجرد سلسلة عشوائية من الأرقام، بل هي نمط رياضي دقيق ومتكرر، وهذا التكرار المنتظم هو المفتاح لفهم هويته الحقيقية. فالأرقام في عالم الرياضيات إما أن تكون نسبية أو غير نسبية، والفاصل بينهما هو إمكانية كتابتها على صورة محددة.

والبرهان على أن هذا الكسر العشري الدوري ينتمي إلى عائلة الأعداد النسبية يكمن في تعريف العدد النسبي نفسه. فالعدد النسبي هو أي قيمة يمكن وضعها على صورة كسرية، أي نسبة بين عددين صحيحين (بسط ومقام)، على ألا يكون المقام صفرًا. مهمتنا إذن هي تحويل النمط اللامتناهي …٠,١٢ إلى هذه الصورة الكسرية البسيطة.

لتحقيق ذلك، نسلك مسارًا جبريًا منطقيًا. لنفرض أن قيمة هذا العدد تساوي (س)، إذن: س = …٠,١٢١٢١٢. بما أن التكرار يشمل رقمين، فإننا نضرب طرفي المعادلة في العدد ١٠٠، وهو ما يزيح الفاصلة العشرية منزلتين إلى اليمين. ينتج عن ذلك معادلة جديدة: ١٠٠س = …١٢,١٢١٢١٢. والآن، بطرح المعادلة الأولى من الثانية، نجد أن الجزء العشري المتكرر يختفي تمامًا: (١٠٠س – س) = (…١٢,١٢١٢١٢ – …٠,١٢١٢١٢)، وهو ما يعطينا ٩٩س = ١٢.

ومن هنا يتضح لنا جليًا أننا حصرنا القيمة اللانهائية في علاقة جبرية بسيطة. بقسمة طرفي المعادلة على ٩٩، نصل إلى أن س = ١٢/٩٩. هذا الكسر هو التمثيل الحقيقي للعدد العشري الدوري، ولكنه ليس في أبسط صورة. بقسمة كل من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر وهو ٣، نحصل على الكسر النهائي ٤/٣٣.

إن هذه النتيجة ليست مجرد صدفة، بل هي قاعدة رياضية ثابتة. فبما أننا تمكنا من التعبير عن الكسر العشري الدوري …٠,١٢ على صورة نسبة بين العددين الصحيحين ٤ و ٣٣، فقد أثبتنا بما لا يدع مجالاً للشك أنه عدد نسبي. وهذه الطريقة المنهجية تنطبق على أي كسر عشري دوري، مهما كان عدد أرقامه المتكررة، مما يجعله عضوًا أصيلًا في منظومة الأعداد النسبية.