السؤال: ما العلاقة بين مقامي العاملين المضروبين وبين مقام الناتج؟
- الإجابة: ناتج ضرب مقامي العاملين يساوي مقام الناتج.
شرح الإجابة:
في عالم الرياضيات، لكل قاعدة منطق عميق يفسرها، والعلاقة بين مقامات الكسور عند ضربها ليست استثناءً. لفهم هذا المبدأ، دعنا نفكك أولاً ماهية المقام في أي كسر. إن المقام لا يمثل مجرد رقم أسفل الخط، بل هو هوية الكسر وجوهره؛ فهو يخبرنا إلى كم جزء متساوٍ تم تقسيم الوحدة الكاملة. فعندما نقول “نصف” (١/٢)، فالمقام “٢” يعني أننا قسمنا الكل إلى جزأين، وعندما نقول “ربع” (١/٤)، فالمقام “٤” يعني أن الكل قُسّم إلى أربعة أجزاء.
والآن، ننتقل إلى عملية الضرب. إن ضرب كسر في كسر آخر، مثل ضرب النصف في الربع، يعني حسابيًا أننا نريد إيجاد “نصف الربع”. تخيل أن لديك قطعة تمثل ربع وحدة كاملة، وأنت تريد أن تأخذ نصف هذه القطعة تحديداً. أنت بذلك لا تأخذ نصف الوحدة الكاملة، بل نصف جزء من أربعة أجزاء. ومن هنا يتجلى المبدأ الأساسي؛ لمعرفة قيمة هذا الجزء الجديد بالنسبة للوحدة الكاملة الأصلية، يجب أن نتخيل تقسيم كل الأرباع الأخرى إلى نصفين أيضاً.
عندما نقوم بتقسيم كل ربع من الأرباع الأربعة إلى نصفين، فإننا في الحقيقة نضاعف عدد الأجزاء الكلية. كان لدينا أربعة أجزاء (المقام ٤)، وقمنا بتقسيم كل جزء منها إلى جزأين (المقام ٢). وبالتالي، يصبح العدد الإجمالي الجديد للأجزاء هو حاصل ضرب عدد الأجزاء الأصلي في عدد التقسيمات الجديدة، أي ٤ ضرب ٢، وهو ما يساوي ٨. هذا الرقم الجديد، ٨، هو مقام الكسر الناتج، لأنه يمثل العدد الكلي للأجزاء المتساوية التي تتكون منها الوحدة الكاملة الآن.
إذن، العلاقة هي علاقة سببية مباشرة وليست مجرد مصادفة حسابية. إن مقام الناتج النهائي هو بالضرورة حاصل ضرب مقامي الكسرين المتفاعلين، لأنه يعكس عملية إعادة تقسيم الوحدة الكاملة إلى أجزاء أدق وأصغر. فكل عملية ضرب بين كسرين هي في جوهرها عملية تفتيت للأجزاء، ومقام الناتج هو التعبير العددي الدقيق عن هذا التفتيت الكلي.