السؤال: اكتب معادلة المستقيم المعامد للمستقيم ص = -1/2س – 4 والمار بمقطعه السيني بصيغة الميل والمقطع
- الإجابة: ص = ٢س + ١٦
شرح الإجابة:
لننطلق في تحليل هذه المسألة الهندسية من المعطى الأساسي، وهو معادلة المستقيم الأول: ص = -١/٢س – ٤. هذه الصيغة، المعروفة بصيغة الميل والمقطع، تكشف لنا مباشرةً عن ميل هذا المستقيم، والذي يمثل معامل الانحدار له. هنا، نجد أن الميل (م₁) يساوي -١/٢. هذا هو الخيط الأول الذي سنمسك به لحل اللغز.
والآن، ننتقل إلى حجر الزاوية في المسألة، وهو مفهوم “التعامد” بين المستقيمات. في عالم الهندسة التحليلية، عندما يكون مستقيمان متعامدين، فإن العلاقة بين ميليهما تكون محددة وواضحة؛ إذ يكون ميل أحدهما هو المقلوب السالب لميل الآخر. بناءً على هذه القاعدة الجوهرية، يمكننا استنتاج ميل المستقيم الجديد (م₂) الذي نبحث عنه. بما أن ميل المستقيم الأصلي هو -١/٢، فإن ميل المستقيم المعامد له سيكون مقلوبه مع تغيير الإشارة، أي ٢. وبهذا، يتكشّف لنا نصف هيكل المعادلة المطلوبة: ص = ٢س + ب، حيث يبقى علينا تحديد قيمة (ب)، أي المقطع الصادي.
غير أن المعادلة لا تكتمل إلا بمعرفة النقطة التي يمر بها هذا المستقيم الجديد. يخبرنا السؤال أن المستقيم المطلوب يمر بـ “المقطع السيني” للمستقيم الأصلي. والمقطع السيني هو ببساطة النقطة التي يتقاطع فيها المستقيم مع المحور الأفقي (محور السينات)، وعند هذه النقطة تحديداً، تكون قيمة الإحداثي الصادي (ص) صفراً دائماً. بالعودة إلى المعادلة الأصلية ص = -١/٢س – ٤، وبتعويض قيمة ص بصفر، نحصل على: ٠ = -١/٢س – ٤. وبحل هذه المعادلة البسيطة لإيجاد قيمة س، نجد أن س = -٨. إذن، النقطة المحورية التي يمر بها مستقيمنا الجديد هي (-٨، ٠).
بامتلاكنا الآن لميل المستقيم الجديد (م = ٢) ونقطة دقيقة يمر بها وهي (-٨، ٠)، تصبح عملية إيجاد المقطع الصادي (ب) أمراً يسيراً. نقوم بتعويض هذه القيم في صيغة المعادلة ص = ٢س + ب. عند التعويض، نحصل على: ٠ = ٢(-٨) + ب، وهو ما يقودنا إلى أن ٠ = -١٦ + ب. ومن هنا يتضح جلياً أن قيمة ب تساوي ١٦.
وهكذا، بعد أن جمعنا كل الخيوط اللازمة — الميل (٢) والمقطع الصادي (١٦) — نصل إلى اللحظة الحاسمة لصياغة المعادلة النهائية بصيغتها الكاملة. فتكون المعادلة التي تجسد جميع الشروط المطلوبة، من كونها معامدة للمستقيم الأول ومارة بمقطعه السيني، هي: ص = ٢س + ١٦.