السؤال: وضح كيف تحدد ما إذا كان مستقيمان متوازيين أم متعامدين
- الإجابة: أقارن بين ميلي المستقيمين؛ فإذا كان لهما الميل نفسه فهما متوازيان، وإذا كان ميل أحدهما هو المعكوس المقلوب لميل الآخر فهما متعامدان.
شرح الإجابة:
إن تحديد العلاقة الهندسية بين مستقيمين في المستوى الإحداثي، سواء أكانت توازيًا أم تعامدًا، يرتكز بشكل أساسي على مفهوم جوهري يُعرف بـ “الميل”. فالميل ليس مجرد رقم، بل هو الهوية العددية التي تصف بدقة مقدار انحدار الخط المستقيم واتجاهه. ولكي نكشف عن طبيعة العلاقة بين أي مستقيمين، فإن نقطة الانطلاق الحاسمة هي استخراج قيمة الميل لكل منهما، ومن ثم إجراء مقارنة علمية دقيقة بين هاتين القيمتين.
في حالة التوازي، نتصور خطين يسيران جنبًا إلى جنب بمسافة ثابتة، لا يلتقيان أبدًا مهما امتدا. هذا التناغم البصري يُترجم رياضيًا إلى تطابق تام في معامل التوجيه. بمعنى آخر، إذا كان للمستقيم الأول ميل معين، فلا بد أن يكون للمستقيم الثاني الميل ذاته بالضبط. فالتساوي المطلق في قيمة الميل هو البرهان القاطع الذي لا يقبل الجدال على أن المستقيمين متوازيان، وكأنهما يسيران على الدرب نفسه وبالانحدار نفسه.
وعلى صعيد آخر، يأتي التعامد ليرسم صورة مختلفة تمامًا، حيث يتقاطع المستقيمان ليشكلا زاوية قائمة مثالية مقدارها 90 درجة، كما نرى في زوايا المربع أو تقاطع الشوارع الرئيسية. هذه العلاقة الخاصة لها شرط رياضي فريد من نوعه؛ إذ يجب أن يكون ميل أحد المستقيمين هو “المعكوس المقلوب السالب” لميل الآخر. ولتوضيح هذا المصطلح، إذا كان ميل المستقيم الأول هو الكسر (أ/ب)، فإن ميل المستقيم العمودي عليه سيكون حتمًا (–ب/أ). وثمة طريقة أخرى للتحقق، وهي أن حاصل ضرب ميليهما يجب أن يساوي سالب واحد (-1) دائمًا. هذا الارتباط العكسي والمقلوب بين الميلين هو السمة المميزة التي تؤكد وجود علاقة التعامد.
وبهذا يتضح أن الفيصل في الأمر هو قيمة الميل. فبمجرد حساب معامل الانحدار لكل مستقيم، تتحول المسألة من تحدٍ هندسي إلى مقارنة عددية بسيطة وواضحة. إما أن نجد تطابقًا في القيمتين، فنحكم بالتوازي، أو نكتشف علاقة المعكوس المقلوب، فنقرر وجود التعامد. وإن لم يتحقق أي من هذين الشرطين، فإن المستقيمين ببساطة متقاطعان ولكن بشكل غير عمودي. هكذا يمنحنا الميل مفتاحًا دقيقًا لفك شفرة العلاقات الهندسية بين الخطوط المستقيمة.