السؤال: حدد إذا كانت المتباينتان س² > 1 ، س > 1 متكافئتين أم لا، وفسر إجابتك.
- الإجابة: لا، المتباينتان ليستا متكافئتين.
شرح الإجابة:
إن مفهوم التكافؤ بين عبارتين رياضيتين، وتحديداً المتباينات، يقتضي بالضرورة أن تكون مجموعة الحل لكل منهما متطابقة تماماً. بعبارة أخرى، يجب أن يكون كل عدد يحقق المتباينة الأولى محققاً للثانية دون استثناء، والعكس صحيح. ومن هذا المنطلق، نبدأ بتحليل كل متباينة على حدة لنرى إن كان هذا الشرط الجوهري متوفراً.
عند النظر في المتباينة الأولى، س > 1، نجد أن مجموعة الأعداد التي تحققها واضحة ومباشرة. إنها تشمل كافة الأعداد الحقيقية التي تفوق قيمتها الرقم واحد، مثل 2، 5، أو 1.01. هذا النطاق يقع بالكامل في الجانب الموجب من خط الأعداد، وهو يمثل معيار المقارنة الذي سنحتكم إليه.
ننتقل الآن إلى المتباينة الثانية، س² > 1، وهنا يظهر العامل الذي يغير الموازين، وهو عملية التربيع. إن تربيع أي عدد أكبر من واحد سيؤدي حتماً إلى نتيجة أكبر من واحد، فمثلاً مربع العدد 3 هو 9، وهو أكبر من 1. إلى هذه النقطة، يبدو أن هناك تداخلاً بين مجموعتي الحل.
لكن، وهنا يكمن جوهر الاختلاف، فإن لعملية التربيع خاصية فريدة تتمثل في أنها تحول القيم السالبة إلى موجبة. فإذا أخذنا قيمة سالبة للمتغير س، مثل س = -2، فإن تربيعها يعطينا س² = (-2)² = 4، وهي قيمة أكبر من 1 وتحقق المتباينة الثانية. يترتب على ذلك أن المتباينة س² > 1 لا تكتفي بالقيم الموجبة الأكبر من واحد، بل تمتد لتشمل نطاقاً آخر من الأعداد، وهو كل القيم السالبة التي تقل عن -1 (أي س < -1).
وبالتالي، نصل إلى حقيقة قاطعة: مجموعة حل المتباينة س > 1 هي فترة واحدة (1, ∞)، بينما مجموعة حل المتباينة س² > 1 تتكون من اتحاد فترتين منفصلتين (-∞, -1) U (1, ∞). وبما أن مجموعة الحل الثانية تحتوي على قيم سالبة لا وجود لها في الأولى، فإن الشرط الأساسي للتكافؤ ينتفي، ونستنتج بشكل لا يقبل الشك أن المتباينتين غير متكافئتين.