السؤال: ما مجموعة حل المتباينة 7 + س < 5؟
- الإجابة: { س | س < -2 }
شرح الإجابة:
إن التعامل مع المتباينات الرياضية لا يختلف في جوهره عن التعامل مع المعادلات، فكلاهما يتطلب منا عزل المتغير، وهو في هذه الحالة ‘س’، في طرف مستقل. بيد أن الفارق الجوهري يكمن في أننا لا نبحث عن قيمة واحدة محددة، بل عن نطاق كامل من القيم التي تحقق صحة هذه العلاقة الرياضية.
ولكي نصل إلى هذا النطاق، نبدأ بالنظر إلى المتباينة الأصلية: 7 + س < 5. هدفنا الاستراتيجي هو أن يبقى المتغير ‘س’ وحيداً في الطرف الأيمن. لتحقيق ذلك، يتوجب علينا التخلص من العدد 7 المضاف إليه. وهنا، يأتي دور العملية العكسية للجمع، ألا وهي الطرح. انطلاقاً من مبدأ التوازن الرياضي، فإن أي إجراء نطبقه على أحد طرفي علاقة التباين، يجب أن نطبقه على الطرف الآخر للحفاظ على صحتها.
بناءً على ما سبق، نقوم بطرح العدد 7 من كلا الطرفين على النحو التالي: (7 + س) – 7 < 5 – 7. عند تبسيط هذه الصيغة، نجد أن العدد 7 في الطرف الأيمن يلغي نظيره، ليتبقى لنا ‘س’ فقط. في المقابل، فإن عملية طرح 7 من 5 في الطرف الأيسر تقودنا إلى عالم الأعداد السالبة، لتكون النتيجة -2.
وبذلك، نصل إلى نتيجة حاسمة ومُبسطة، وهي أن: س < -2. هذه العبارة هي مفتاح الحل، فهي تخبرنا أن أي عدد حقيقي قيمته أصغر تماماً من -2 سيجعل المتباينة الأصلية صحيحة. يمكن تصور ذلك على أنه كل الأرقام الواقعة على يسار النقطة -2 على خط الأعداد، مثل -3، -4.5، أو -100، دون أن تشمل العدد -2 نفسه.
أخيراً، نترجم هذا الفهم إلى الصيغة الرسمية لمجموعة الحل. إن التعبير { س | س < -2 } هو لغة الرياضيات الدقيقة لوصف هذا المفهوم، ويُقرأ كالتالي: “مجموعة كل العناصر س، بشرط أن تكون قيمة س أصغر من -2”. وبهذا، نكون قد حددنا بشكل قاطع وشامل جميع الحلول الممكنة لهذه المسألة.