اشرح الحالات التي يتغير فيها اتجاه إشارة المتباينة وأعط أمثلة تؤيد ذلك

السؤال: اشرح الحالات التي يتغير فيها اتجاه إشارة المتباينة وأعط أمثلة تؤيد ذلك

• الإجابة: يتغير اتجاه إشارة المتباينة عند ضرب طرفيها أو قسمتهما على عدد حقيقي سالب.

شرح الإجابة:

في عالم الرياضيات، تُمثل المتباينات علاقات ترتيب بين قيمتين، فهي لا تخبرنا بتساويهما كما تفعل المعادلات، بل تحدد أيّهما أكبر من الآخر. وهذه العلاقة حساسة للغاية، والحفاظ على صحتها هو جوهر التعامل معها. إن فهم متى وكيف تتغير هذه العلاقة هو بمثابة فهم لقواعد اللعبة الأساسية.

وهنا يكمن المنعطف الحاسم، فالقاعدة المحورية التي تحكم هذا التغيير بسيطة ومحددة: ينعكس اتجاه رمز التفاوت (مثل > أو <) بشكل إلزامي عند ضرب طرفي المتباينة أو قسمتهما على أي قيمة عددية سالبة. هذا الإجراء ليس خياراً رياضياً، بل هو ضرورة منطقية للحفاظ على صدق العبارة الرياضية وسلامتها.

ولتتضح الصورة بجلاء، لنأخذ علاقة بديهية وبسيطة: 5 > 2. هذه حقيقة لا جدال فيها. الآن، لنقم بضرب طرفي هذه العلاقة بالعدد السالب (-3). سيصبح الطرف الأيمن (2 × -3 = -6) والطرف الأيسر (5 × -3 = -15). فما هي العلاقة الصحيحة الآن بين -15 و -6؟ من المعلوم أن -6 أكبر من -15. لذلك، للحفاظ على صحة المتباينة، يجب علينا عكس الإشارة الأصلية من (>) إلى (<)، لتصبح النتيجة الصحيحة: -15 < -6.

وبالمثل، إذا طبقنا هذا المبدأ على متغير، كما في المثال المذكور: -2س > 4. هنا، هدفنا هو عزل المتغير (س) لمعرفة قيمته. يتطلب ذلك قسمة طرفي المتباينة على معامل المتغير وهو (-2). وبما أننا نقسم على مقدار سالب، فإننا نقوم بخطوتين متزامنتين: أولاً، نعكس اتجاه إشارة التباين من (>) إلى (<). ثانياً، ننفذ عملية القسمة. فينتج لدينا أن س < -2، وهي الحلول التي تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

في المقابل، تجدر الإشارة إلى أن عمليات الجمع والطرح، حتى لو كانت لأعداد سالبة، لا تؤثر إطلاقاً على اتجاه رمز التفاوت. وكذلك الحال عند الضرب أو القسمة على عدد موجب، فالعلاقة تبقى ثابتة كما هي. إن هذا التمييز الدقيق هو ما يفصل بين الحل الصحيح والنتيجة الخاطئة، وهو يعكس البنية المنطقية العميقة التي تقوم عليها علاقات الترتيب في الرياضيات.