السؤال: ما مجموعة حل المتباينة 4ت + 2 < 8ت – (6ت – 10)
- الإجابة: { ت | ت < 4}
شرح الإجابة:
إن الولوج إلى قلب هذه المسألة الرياضية يقتضي منا تفكيك عناصرها بأسلوب منهجي ومنظم. في مستهل الأمر، نواجه علاقة تباين تحتوي على أقواس، وهي أول عقبة يجب تجاوزها. الطرف الأيمن من المتباينة، 8ت – (6ت – 10)، يحمل في طياته عملية توزيع للإشارة السالبة على ما بداخل القوس، وهي خطوة جوهرية تغير موازين المعادلة. فعند إزالة القوس، تتحول الإشارة السالبة إلى معاكس إشارة كل حدٍ داخلي، ليصبح التعبير 8ت – 6ت + 10.
بعد أن أزلنا هذا التعقيد الأولي، تتضح لنا الصورة بشكل أكبر. ننتقل الآن إلى تجميع الحدود المتشابهة في الطرف الأيمن لتبسيطه. بطرح 6ت من 8ت، نحصل على 2ت. وعليه، تتبلور المتباينة في صورة أكثر إيجازًا ووضوحًا، وهي: 4ت + 2 < 2ت + 10. لقد قمنا بتحويل المسألة من شكلها المركب إلى هيئة تسمح لنا بالتعامل المباشر مع المجهول “ت”.
وهنا تكمن النقلة النوعية في الحل، حيث نسعى إلى عزل المتغير “ت” في طرف واحد من علاقة التباين. من الحكمة أن نطرح 2ت من كلا الطرفين للحفاظ على توازن العلاقة الرياضية، وتجنب ظهور معاملات سالبة للمجهول. هذه الخطوة تقودنا إلى: (4ت – 2ت) + 2 < (2ت – 2ت) + 10، والتي تُختزل إلى 2ت + 2 < 10. لقد أصبح المجهول الآن في طرف واحد، مما يمهد الطريق للخطوة قبل الأخيرة.
وصولًا إلى المرحلة الحاسمة، يجب أن نتخلص من الثابت الرقمي “2” الذي يجاور المتغير. يتم ذلك عبر طرح العدد 2 من طرفي المتباينة، فتكون النتيجة 2ت < (10 – 2)، أي 2ت < 8. لم يتبق سوى خطوة أخيرة تكشف لنا عن نطاق قيم “ت” الممكنة. بقسمة كلا الطرفين على المعامل “2”، نصل مباشرة إلى الحقيقة النهائية، وهي أن ت < 4.
وختاماً، نُصيغ هذه النتيجة باللغة الرياضية الدقيقة التي تسمى “صفة المجموعة المميزة”. إن الحل ليس رقمًا واحدًا، بل هو مجموعة لا نهائية من الأعداد. وعليه، فإن مجموعة الحل هي كل الأعداد الحقيقية “ت” بشرط أن تكون أصغر تمامًا من العدد 4، وتُكتب على النحو التالي: { ت | ت < 4}.