السؤال: اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المار بالنقطة (-4 ، 5) والمعامد للمستقيم ص = 1/3س + 6
- الإجابة: ص = –٣س – ٧
شرح الإجابة:
نتأمل في هذه المسألة الهندسية التي تتطلب منا تحديد هوية خط مستقيم جديد بمعلومية نقطة يمر خلالها وعلاقته بمستقيم آخر. إن مفتاح الحل لا يكمن في الحسابات المعقدة، بل في فك شفرة العلاقة الأساسية التي تربط بين المستقيمات المتعامدة، وتحديداً ميل كل منهما.
لنبدأ بتحليل المستقيم المُعطى، ص = ١/٣س + ٦. من هذه الصيغة، يتضح أن معامل انحداره، أو ميله، هو ١/٣. وهنا تكمن النقطة المحورية؛ فالعلاقة الرياضية بين أي مستقيمين متعامدين هي أن ميل أحدهما هو “المقلوب السالب” لميل الآخر، أي أن حاصل ضرب ميليهما يساوي دائماً -١. وبناءً على هذه القاعدة الراسخة، فإن ميل المستقيم المنشود سيكون المقلوب السالب للعدد ١/٣. وعليه، فإننا نقلب الكسر ١/٣ ليصبح ٣، ثم نعكس إشارته، فنحصل على ميل جديد مقداره -٣.
بعد أن تمكنا من استخلاص ميل المستقيم المطلوب وهو -٣، تنتقل مهمتنا إلى إيجاد المقطع الصادي (ب)، وهو تلك النقطة التي يتقاطع فيها المستقيم مع المحور الرأسي (ص). نملك الآن معلومتين حاسمتين: الميل (-٣) ونقطة محددة يمر بها هذا المستقيم وهي (-٤، ٥). بالاستعانة بالصيغة العامة لمعادلة المستقيم (ص = م س + ب)، نعوض بهذه القيم للوصول إلى المجهول الأخير.
بالتعويض المباشر في المعادلة، نضع القيمة ٥ مكان المتغير (ص) والقيمة -٤ مكان المتغير (س)، فتصبح المعادلة على النحو التالي: ٥ = (-٣)(-٤) + ب. عند ضرب -٣ في -٤، نحصل على الناتج ١٢، لتتحول المعادلة إلى الصيغة المبسطة: ٥ = ١٢ + ب. ولكي نعزل المقطع الصادي (ب) في طرف بمفرده، نطرح ١٢ من كلا الطرفين، مما يقودنا إلى أن قيمة (ب) تساوي -٧.
وهكذا، بعد استنتاج الميل (-٣) وتحديد قيمة المقطع الصادي (-٧)، تكتمل لدينا كل عناصر المعادلة المطلوبة. ندمج هذه المكونات معاً لنصوغ المعادلة النهائية بصيغة الميل والمقطع، فتكون: ص = -٣س – ٧. إنها النتيجة المنطقية التي تترتب حتماً على التطبيق الدقيق لمفاهيم التعامد والميل في فضاء الهندسة التحليلية.