السؤال: أُطلق بالون من ارتفاع 60 قدمًا فوق سطح الأرض لأعلى، إذا كان معدل ارتفاع البالون 15 قدمًا/الدقيقة.
- أ) أوجد ارتفاع البالون بعد: دقيقة، دقيقتين، 3 دقائق، 4 دقائق من إطلاقه.
- ب) إذا كانت (ز) تعبر عن الزمن بالدقائق و(ع) تمثل ارتفاع البالون، فعبر عن الموقف بمتتابعة حسابية.
شرح الإجابة:
لنحلل الموقف بمنطق رياضي دقيق. لدينا معطيان أساسيان: نقطة انطلاق ثابتة ومعدل تغير منتظم. نقطة الانطلاق ليست من الصفر، بل من علوّ ابتدائي يبلغ 60 قدمًا، وهذا يمثل الأساس الثابت في معادلتنا. أما العنصر المتغير، فهو المسافة التي يقطعها البالون صعودًا، وتتزايد هذه المسافة بمقدار 15 قدمًا مع مرور كل دقيقة. إذن، الارتفاع الكلي للبالون في أي لحظة هو نتاج جمع ارتفاعه الأولي مع المسافة الإضافية التي اكتسبها بمرور الوقت.
بناءً على هذا التحليل، يمكننا حساب الارتفاع عند نقاط زمنية محددة. بعد دقيقة واحدة، يكون البالون قد صعد 15 قدمًا إضافية، ليصبح ارتفاعه الإجمالي (60 + 15 × 1) = 75 قدمًا. وعندما يمضي دقيقتان، تتضاعف المسافة المقطوعة لتصبح 30 قدمًا، فيكون الارتفاع الكلي (60 + 15 × 2) = 90 قدمًا. وبهذا المنطق المتسلسل، نستطيع استنتاج أن الارتفاع بعد 3 دقائق هو 105 أقدام، وبعد 4 دقائق يصل إلى 120 قدمًا. نلاحظ هنا نمطًا واضحًا يتكرر بانتظام.
من هذا المنطلق، ننتقل من الحالات الفردية إلى صياغة قاعدة عامة تصف حركة البالون. هذا النمط المتزايد بقيمة ثابتة يُعرف في الرياضيات بـ “المتتابعة الحسابية”. إذا رمزنا للزمن بالمتغير (ن) للدقائق، فإن الارتفاع الكلي (أن) يمكن التعبير عنه بعلاقة رياضية تربط بين الثابت والمتغير. بما أن الارتفاع يزداد بمقدار 15 قدمًا لكل دقيقة (15ن)، مضافًا إليه الارتفاع الأولي البالغ 60 قدمًا، فإن القانون العام أو الحد النوني لهذه المتتابعة هو: أن = 15ن + 60. هذه المعادلة تمثل وصفًا رياضيًا شاملًا لحركة البالون، وتسمح لنا بحساب ارتفاعه عند أي دقيقة زمنية.