السؤال: إذا كانت قوة الجاذبية بين إلكترونين البعد بينهما 1.00 m تساوي 5.54× 10 ⁻⁷¹ N فاحسب كتلة الإلكترون.
- الإجابة: 9.11 × 10⁻³¹ kg
شرح الإجابة:
لفهم كيفية الوصول إلى هذه النتيجة، يجب أن نعود إلى أحد المبادئ الأساسية في الفيزياء، وهو قانون الجذب العام الذي صاغه إسحاق نيوتن. هذا القانون الكوني يصف قوة التجاذب بين أي جسمين يمتلكان كتلة في هذا الكون، وهي القوة ذاتها التي تُبقي الكواكب في مداراتها حول الشمس.
ينص القانون على أن قوة الجاذبية (F) تتناسب طرديًا مع حاصل ضرب كتلتي الجسمين (m₁) و (m₂)، وعكسيًا مع مربع المسافة (r) بين مركزيهما. تُترجم هذه العلاقة إلى معادلة رياضية دقيقة هي: F = G (m₁m₂ / r²)، حيث يمثل (G) ثابت الجذب العام، وهو رقم ثابت لا يتغير في أي مكان بالكون.
في الحالة التي بين أيدينا، نتعامل مع جسيمين متماثلين تمامًا، وهما إلكترونان. هذا يعني أن كتلة الأول (m₁) تساوي كتلة الثاني (m₂)، لذا يمكننا تبسيط المعادلة. بدلاً من m₁ × m₂، نكتب ببساطة m²، حيث ترمز (m) إلى كتلة الإلكترون الواحد التي نسعى لتحديدها. بناءً على ذلك، يصبح شكل القانون F = G (m² / r²).
إن الهدف المحوري الآن هو عزل المتغير (m) في طرف مستقل من المعادلة. لتحقيق ذلك، نقوم بإعادة ترتيب المعادلة عبر خطوات جبرية منطقية. أولاً، نضرب طرفي المعادلة في (r²) للتخلص من المقام، فتصبح F × r² = G × m². ثم، نقسم الطرفين على الثابت (G) لنحصل على m² = (F × r²) / G. وأخيرًا، للوصول إلى قيمة (m) وليس مربعها، نأخذ الجذر التربيعي للطرفين، لنصل إلى الصيغة النهائية: m = √[(F × r²) / G].
عند هذه النقطة، ننتقل من الإطار النظري إلى التطبيق العملي من خلال تعويض القيم المُعطاة في المسألة. لدينا القوة (F) تساوي 5.54 × 10⁻⁷¹ نيوتن، والمسافة (r) هي 1.00 متر، أما ثابت الجذب العام (G) فقيمته المعروفة هي 6.67 × 10⁻¹¹ نيوتن.متر²/كجم². بالتعويض في المعادلة، نحصل على: m = √[(5.54 × 10⁻⁷¹ × 1.00²) / (6.67 × 10⁻¹¹)].
بإجراء الحسابات بدقة، نجد أن مربع الكتلة (m²) يساوي تقريبًا 8.3 × 10⁻⁶¹ كجم². وبأخذ الجذر التربيعي لهذه القيمة، نصل إلى النتيجة النهائية وهي أن كتلة الإلكترون الواحد تساوي 9.11 × 10⁻³¹ كيلو جرام، وهي قيمة متناهية في الصغر تعكس الطبيعة الدقيقة للجسيمات دون الذرية.