السؤال: حدد ما اذا كان المستقيم AB والمستقيم CD متوازيين او متعامدين او غير ذلك في كل من الحالات التالية: (A(3,3), B(8,2), C(6,–1), D(1,0)) و (A(4,2), B(1,–3), C(–3,5), D(2,2)) و (A(–8,–7), B(4,–4), C(–2,–5), D(1,7))
- الإجابة: في الحالة الأولى، المستقيمان متوازيان. في الحالة الثانية، هما متعامدان. أما في الحالة الثالثة، فالعلاقة بينهما لا تندرج تحت التوازي أو التعامد.
شرح الإجابة:
إن جوهر المسألة يكمن في مفهوم “الميل” أو ما يعرف أحيانًا بـ “الانحدار”، فهو الذي يحدد طبيعة العلاقة الهندسية بين أي مستقيمين في المستوى الإحداثي. ببساطة، ميل المستقيم هو مقياس لدرجة انحرافه عن المحور الأفقي، ويمكننا حسابه باستخدام قانون بسيط وواضح، ألا وهو قسمة فرق الإحداثيات الصادية على فرق الإحداثيات السينية لنقطتين على المستقيم ذاته، وفقًا للصيغة: م = (ص₂ – ص₁) / (س₂ – س₁).
ومن هذا المنطلق، تتشكل لدينا ثلاث قواعد أساسية لا رابع لها. إذا تطابق ميل المستقيم الأول مع ميل المستقيم الثاني، فهذا يعني أنهما يسيران في نفس الاتجاه دون أن يلتقيا أبدًا، أي أنهما متوازيان. وعلى النقيض من ذلك، إذا كان حاصل ضرب ميلهما يساوي سالب واحد (-1)، فإن هذا يشير إلى تقاطعهما بشكل يشكل زاوية قائمة، وهو ما نسميه بالتعامد. أما إذا لم يتحقق أي من الشرطين السابقين، فالمستقيمان يتقاطعان ولكن ليس بزاوية قائمة، وبالتالي تكون العلاقة بينهما “غير ذلك”.
إقرأ أيضا:بدأت فيها الثورة الصناعية فطحلبالانتقال إلى الحالة الأولى بالنقاط (A(3,3), B(8,2)) و (C(6,–1), D(1,0))، نجد أن انحدار المستقيم AB هو (2 – 3) / (8 – 3) الذي يساوي -1/5. وبالمثل، عند حساب ميل المستقيم CD نجد أنه (0 – (-1)) / (1 – 6)، والنتيجة هي 1 / -5، أي -1/5 أيضًا. وبما أن الميلين قد تطابقا تمامًا، فإن الاستنتاج الحتمي هو أن المستقيمين متوازيان.
ثم ننتقل إلى تحليل الحالة الثانية بالنقاط (A(4,2), B(1,–3)) و (C(–3,5), D(2,2)). هنا، نرى أن ميل AB هو (-3 – 2) / (1 – 4)، وهو ما يعطي -5 / -3، أي 5/3. في المقابل، يبلغ ميل CD قيمة (2 – 5) / (2 – (-3))، والذي يساوي -3 / 5. للوهلة الأولى، يبدو الميلان مختلفين، ولكن عند ضربهما ببعضهما (5/3) × (-3/5) تكون النتيجة النهائية -1. وهذا التحقق يقودنا مباشرةً إلى قاعدة التعامد، مما يؤكد أن المستقيمين متعامدان.
وأخيرًا، نصل إلى الحالة الثالثة بالنقاط (A(–8,–7), B(4,–4)) و (C(–2,–5), D(1,7)). عند تطبيق القانون، نكتشف أن ميل المستقيم AB هو (-4 – (-7)) / (4 – (-8))، والذي يبسط إلى 3 / 12، أو 1/4. ومن جهة أخرى، نجد أن ميل المستقيم CD هو (7 – (-5)) / (1 – (-2))، مما يعطينا 12 / 3، أي 4. من الواضح هنا أن الميلين غير متساويين، وبالتالي فالمستقيمان ليسا متوازيين. كما أن حاصل ضربهما (1/4) × (4) يساوي 1، وليس -1، مما ينفي حالة التعامد أيضًا. إذن، لا مناص من القول بأن العلاقة بينهما هي “غير ذلك”.
إقرأ أيضا:اكتب قاعدة لإيجاد عدد المكعبات بدلالة عدد طبقات المجسم
