السؤال: تمثل مواقع كل من الرياض وجدة وأبها رؤوس مثلث كما في الشكل أدناه، إذا كان محيط هذا المثلث 2198 km، فاوْجِد المسافة الجوية بين كل من المدن الثلاث
- الإجابة: بين الرياض وجدة 850 km، بين الرياض وأبها 840.8 km، بين جدة وأبها 507.3 km
شرح الإجابة:
في البداية، نُعبّر عن محيط المثلث باعتباره مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة، حيث تمثل كل مسافة بين مدينتين تعبيراً جبرياً مختلفاً. هذا التمثيل يُمكّننا من بناء معادلة دقيقة تربط بين الأطوال والمعطى الأساسي وهو المحيط الكلي:
– المسافة بين جدة وأبها تُعطى بالصيغة: 53.4x
– المسافة بين الرياض وجدة تُعطى بالصيغة: 90 + 80x
– المسافة بين الرياض وأبها تُعطى بالصيغة: 88.5x
وبالتالي، يصبح التعبير الكامل عن المحيط كما يلي:
53.4x + (90 + 80x) + 88.5x = 2198
نبدأ بتجميع الحدود المتشابهة لتبسيط المعادلة:
53.4x + 80x + 88.5x + 90 = 2198
أي أن: 221.9x + 90 = 2198
ننتقل الآن إلى خطوة حل المعادلة لإيجاد قيمة x، وذلك بطرح 90 من الطرفين:
221.9x = 2198 − 90
221.9x = 2108
ثم نقسم الطرفين على 221.9 للحصول على قيمة x:
x = 2108 ÷ 221.9
x = 9.5
بعد تحديد قيمة x، نستخدمها لحساب كل مسافة على حدة، وفقاً للمعادلات الأصلية:
– المسافة بين الرياض وجدة: 90 + 80 × 9.5 = 90 + 760 = 850 km
– المسافة بين الرياض وأبها: 88.5 × 9.5 = 840.8 km
– المسافة بين جدة وأبها: 53.4 × 9.5 = 507.3 km
وبذلك نكون قد توصلنا إلى حساب دقيق للمسافات الجوية بين المدن الثلاث، مستندين إلى قانون المحيط في الهندسة الإقليدية، مع توظيف المعادلات الخطية بطريقة منهجية تضمن الاتساق الرياضي والوضوح المفاهيمي. هذه الطريقة لا تكتفي بإعطاء نتائج عددية، بل تعزز الفهم العميق للعلاقة بين المعطيات الهندسية والتطبيقات الحسابية الواقعية.