السؤال: الزمن الدوري لنبتون يدور نبتون حول الشمس في مدار نصف قطره 4.495×10¹² m، مما يسمح للغازات ومنها الميثان بالتكثف وتكوين جو كما يوضحه الشكل 8–7. إذا كانت كتلة الشمس 1.99×10³⁰ kg، فاحسب الزمن الدوري لنبتون
- الإجابة: 6.02 × 10⁵ يوم
شرح الإجابة:
لحساب الزمن الدوري لكوكب نبتون حول الشمس، نلجأ إلى القانون الثالث لكبلر الذي يربط بين زمن الدورة المدارية T ونصف قطر المدار r وكتلة الجسم المركزي M، وفق العلاقة:
T = 2π × √(r³ ÷ (G × M))
حيث:
– T هو الزمن الدوري بوحدة الثواني
– r = 4.495 × 10¹² متر
– M = 1.99 × 10³⁰ كيلوجرام
– G = 6.67 × 10⁻¹¹ متر³ / (كجم × ثانية²)
نبدأ أولاً بحساب مكعب نصف القطر:
r³ = 4.495 × 10¹² × 4.495 × 10¹² × 4.495 × 10¹²
≈ 9.08 × 10³⁷ متر³
ثم نحسب حاصل ضرب الثابت الجذبي العام في كتلة الشمس:
G × M = 6.67 × 10⁻¹¹ × 1.99 × 10³⁰
≈ 1.33 × 10²⁰ متر³ / ثانية²
بعد ذلك، نقسم r³ على G × M للحصول على القيمة تحت الجذر:
إقرأ أيضا:يقطع ماجد مسافه ٢٠٠ م من بيته إلى متجر مجاور ثم يقطع مسافه ٣٠ م إلى بيت جاره فإذا رجع إلى بيته فكم مترا قد قطعr³ ÷ (G × M) ≈ 9.08 × 10³⁷ ÷ 1.33 × 10²⁰
≈ 6.83 × 10¹⁷ ثانية²
نأخذ الجذر التربيعي لهذه القيمة:
√(6.83 × 10¹⁷) ≈ 8.27 × 10⁸ ثانية
ثم نضرب الناتج في 2π للحصول على الزمن الدوري:
T ≈ 2π × 8.27 × 10⁸
≈ 5.20 × 10⁹ ثانية
وأخيراً، نحول الزمن من الثواني إلى الأيام بقسمة الناتج على عدد الثواني في اليوم الواحد (86400):
T ≈ 5.20 × 10⁹ ÷ 86400
≈ 6.02 × 10⁵ يوم
وهكذا، فإن الزمن الدوري لنبتون حول الشمس يبلغ تقريباً 602,000 يوم، وهو ما يعكس طول المدة التي يستغرقها الكوكب لإتمام دورة واحدة كاملة حول الشمس في مداره البعيد، حيث تسمح درجات الحرارة المنخفضة بتكثف الغازات مثل الميثان وتكوين غلاف جوي مميز.