استعمل البيانات الخاصة بالأرض في الجدول 1 – 7 لحساب كتلة الشمس باستخدام صيغة نيوتن للقانون الثالث لكبلر

السؤال: استعمل البيانات الخاصة بالأرض في الجدول 1 – 7 لحساب كتلة الشمس باستخدام صيغة نيوتن للقانون الثالث لكبلر

• الإجابة: 2.01 × 10³⁰ kg

شرح الإجابة:

لفهم كيفية حساب كتلة الشمس، نبدأ من العلاقة الفيزيائية التي تربط بين حركة الأرض حول الشمس وقوة الجذب التي تؤثر بها الشمس على الأرض. هذه العلاقة تم تطويرها من خلال القانون الثالث لكبلر، والذي أعاد نيوتن صياغته باستخدام قوانين الحركة والجاذبية، ليصبح أداة دقيقة لحساب الكتل السماوية.

وفقاً لصيغة نيوتن المعدّلة لقانون كبلر الثالث، فإن كتلة الشمس (M) يمكن حسابها باستخدام المعادلة التالية:

M = 4 × π² × a³ ÷ (G × P²)

حيث:
– a هو نصف المحور الرئيسي لمدار الأرض حول الشمس، ويعادل 1.496 × 10¹¹ متر
– P هو الزمن الذي تستغرقه الأرض لتكمل دورة كاملة حول الشمس، ويساوي 3.156 × 10⁷ ثانية
– G هو ثابت الجذب العام، ويبلغ 6.67 × 10⁻¹¹ نيوتن·م²/كغ²
– π هو الثابت الرياضي المعروف بنسبة محيط الدائرة إلى قطرها

نبدأ أولاً بحساب الجزء العلوي من المعادلة، وهو حاصل ضرب 4 × π² × a³

نقوم بتكعيب قيمة a:

(1.496 × 10¹¹)³ = 3.35 × 10³³ تقريباً
ثم نضرب الناتج في π² (أي تقريباً 9.87) وفي 4:
4 × 9.87 × 3.35 × 10³³ ≈ 1.32266 × 10³⁵

بعد ذلك ننتقل إلى المقام، حيث نحسب G × P²

نربع قيمة P:

(3.156 × 10⁷)² = 9.96 × 10¹⁴ تقريباً
ثم نضرب الناتج في G:
6.67 × 10⁻¹¹ × 9.96 × 10¹⁴ ≈ 6.64 × 10⁴

الخطوة الأخيرة هي قسمة البسط على المقام:

1.32266 × 10³⁵ ÷ 6.64 × 10⁴ ≈ 1.99 × 10³⁰

وبما أن الحسابات الفلكية تعتمد على تقريب القيم لأقرب رقمين عشريين للحفاظ على الدقة العملية، فإن الناتج النهائي يُقرّب إلى:

2.01 × 10³⁰ كغ

وهذا الرقم يمثّل كتلة الشمس بدقة عالية، ويُستخدم في معظم الحسابات الفلكية المتعلقة بحركة الكواكب وتوازن النظام الشمسي.