هل يمكن لمتجه أن يكون أقصر من إحدى مركبتيه أو مساوياً لطولها؟ وضح ذلك

السؤال: هل يمكن لمتجه أن يكون أقصر من إحدى مركبتيه أو مساوياً لطولها؟ وضح ذلك

الإجابة: لا يمكن أن يكون طول المتجه أقل من طول أي من مركبتيه، ولكنه قد يتساوى مع طول إحدى المركبات إذا انطبق المتجه تماماً على أحد المحاور.

شرح الإجابة:

لفهم هذا المفهوم بدقة، ينبغي أولاً إدراك أن المتجه في المستوى الإحداثي يُمثّل كمية لها مقدار واتجاه، ويتكون عادة من مركبتين: واحدة على المحور الأفقي (x) والأخرى على المحور العمودي (y). وعند حساب طول المتجه، فإننا لا نجمع المركبتين بشكل مباشر، بل نستخدم العلاقة الهندسية المستمدة من نظرية فيثاغورس، حيث يُحسب الطول وفق المعادلة:

الطول = sqrt(Vx^2 + Vy^2)

هذه المعادلة تعكس أن كل مركبة تُسهم في زيادة مقدار المتجه، لأننا نأخذ مربع كل مركبة ثم نجمعهما قبل استخراج الجذر التربيعي. ومن هنا، يتضح أن الطول الناتج لا يمكن أن يكون أقل من أي مركبة بمفردها، لأن مجموع المربعات لا يقل عن أي مربع منفرد، والجذر التربيعي لهذا المجموع يكون دائماً أكبر من أو يساوي أكبر مركبة.

ولكي نُعمّق الفهم أكثر، لنفترض أن لدينا متجه مركبته الأفقية Vx = 3 والمركبة العمودية Vy = 4، فإن طوله سيكون:

الطول = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5

إقرأ أيضا:الخرائط السياسية التي تمثل الظواهر السياسية مثل

وهنا نلاحظ أن الطول (5) أكبر من كل من Vx (3) وVy (4)، مما يؤكد أن المتجه لا يمكن أن يكون أقصر من أي من مركبتيه.

لكن هناك حالة استثنائية دقيقة تستحق التأمل، وهي عندما ينطبق المتجه تماماً على أحد المحاور، أي أن إحدى المركبتين تساوي صفر. في هذه الحالة، تصبح المعادلة:

الطول = sqrt(a^2 + 0^2) = sqrt(a^2) = |a|

وهنا يتساوى طول المتجه مع طول المركبة الوحيدة الفاعلة، لأن الاتجاه ينحصر في بعد واحد فقط دون الآخر. على سبيل المثال، إذا كان لدينا متجه على المحور x فقط وكانت مركبته Vx = 6 وVy = 0، فإن الطول = sqrt(36 + 0) = sqrt(36) = 6، أي أن طول المتجه يساوي طول مركبته الأفقية.

من هذا المنطلق، يمكننا أن نستنتج أن طول المتجه لا يمكن أن يكون أقل من أي من مركبتيه، لأن كل مركبة تضيف إلى القيمة الكلية عبر التربيع. أما التساوي، فهو ممكن فقط عندما تكون إحدى المركبتين معدومة تماماً، مما يجعل المتجه أحادي الاتجاه، ويختزل طوله إلى طول المركبة الوحيدة الفاعلة.

إقرأ أيضا:في أواخر عهد الدولة الأموية وصل إلى الحكم حكام أقوياء حافظوا على الدولة

وبذلك، يتضح أن العلاقة بين طول المتجه ومركبتيه ليست عشوائية، بل تخضع لقوانين رياضية دقيقة تضمن الاتساق بين الاتجاه والمقدار، وتمنع أي تناقض منطقي في بنية المتجهات داخل الفضاء الإحداثي.