السؤال: كيف تتغير الإزاحة المحصلة عندما تزداد الزاوية بين متجهين من 0 إلى 180
شرح الإجابة:
لفهم كيفية تغير الإزاحة المحصلة بين متجهين مع تغير الزاوية بينهما، لا بد أولاً من إدراك أن الإزاحة هي كمية متجهة تعتمد على الاتجاه والمقدار معاً. وعند جمع متجهين، فإن الناتج لا يُحسب بجمع مقداريهما فقط، بل يتأثر أيضاً بالزاوية بينهما، والتي تحدد مدى توافق اتجاهيهما.
يُستخدم قانون جمع المتجهات التالي لحساب مقدار الإزاحة المحصلة:
R = √(A² + B² + 2AB cosθ)
حيث:
– A وB يمثلان مقدار كل من المتجهين.
– θ هي الزاوية المحصورة بينهما.
– R هي الإزاحة المحصلة الناتجة عن جمع المتجهين.
عند الزاوية θ = 0°، يكون اتجاه المتجهين متطابقاً تماماً، مما يجعل cosθ = 1. في هذه الحالة، يكون الحد 2AB cosθ في أعلى قيمة ممكنة، وبالتالي تكون الإزاحة المحصلة في أقصى مقدار لها، أي R = A + B.
لكن مع زيادة الزاوية تدريجياً نحو 180°، يحدث تغير جوهري في قيمة cosθ:
– عند θ = 90°، تصبح cosθ = 0، مما يلغي تأثير الحد 2AB cosθ تماماً، ويصبح R = √(A² + B²)، وهو أقل من A + B.
إقرأ أيضا:قدر 73% من 65– وعند θ = 180°، تصبح cosθ = –1، فيتحول الحد 2AB cosθ إلى قيمة سالبة، مما يقلل من مقدار R إلى الحد الأدنى الممكن، أي الفرق المطلق بين A وB، أي R = |A – B|.
هذا التغير في قيمة cosθ من موجب إلى سالب يؤدي إلى تناقص مستمر في مقدار الإزاحة المحصلة. فكلما زادت الزاوية بين المتجهين، قل تأثير توافق الاتجاه، وازدادت درجة التنافر بينهما، مما ينعكس مباشرة على انخفاض مقدار الإزاحة الناتجة.
ولتوضيح ذلك بالأرقام، نفترض أن:
– A = 5 وحدات
– B = 5 وحدات
نحسب الإزاحة المحصلة عند ثلاث زوايا مختلفة:
1. عند θ = 0°:
R = √(25 + 25 + 2×5×5×1) = √(100) = 10 وحدات
2. عند θ = 90°:
R = √(25 + 25 + 0) = √(50) ≈ 7.07 وحدات
3. عند θ = 180°:
R = √(25 + 25 – 50) = √(0) = 0 وحدات
يتضح من هذه الحسابات أن الإزاحة المحصلة تتناقص تدريجياً كلما اقتربت الزاوية بين المتجهين من 180°. وهذا التناقص ليس عشوائياً، بل يخضع لقانون رياضي دقيق يعكس العلاقة بين الاتجاه والمقدار في الكميات المتجهة.
إقرأ أيضا:لم يبلغُوا الحُلُم أي دون سن الاحتلام والتكليف صواب خطأوبذلك، فإن فهم هذه العلاقة لا يقتصر على الجانب النظري، بل يُعد أساساً في تطبيقات متعددة مثل تحليل الحركة في الفيزياء، وتحديد المسار الفعلي في الهندسة، وحتى في تصميم الأنظمة الميكانيكية التي تعتمد على توافق القوى.