• الإجابة: 1/4

شرح الإجابة:

في عالم الهندسة الإحداثية، لكل خط مستقيم بصمة فريدة تصف درجة ميله أو انحداره، وهذه البصمة تُعرف رياضيًا باسم “الميل”. إن هذا المفهوم لا يقتصر على كونه مجرد رقم، بل هو مقياس دقيق يوضح العلاقة بين التغير الرأسي (الحركة لأعلى أو لأسفل) والتغير الأفقي (الحركة يمينًا أو يسارًا) بين أي نقطتين على هذا الخط. لفهم هذا الأمر بعمق، تخيل أنك تتحرك على الخط المستقيم من نقطة إلى أخرى؛ فالميل يخبرك تمامًا بمقدار الارتفاع أو الانخفاض الذي تحققه مقابل كل خطوة أفقية تخطوها.

وللوصول إلى القيمة العددية لهذا الميل، نلجأ إلى قانون رياضي محكم وبسيط. ينص هذا القانون على أن الميل (الذي نرمز له غالبًا بالحرف “م”) هو ناتج قسمة الفرق في الإحداثيات الصادية (التغير الرأسي) على الفرق في الإحداثيات السينية (التغير الأفقي) بين النقطتين. بصيغة رياضية، إذا كانت لدينا النقطة الأولى (س₁، ص₁) والنقطة الثانية (س₂، ص₂)، فإن القانون يكون: م = (ص₂ – ص₁) / (س₂ – س₁).

والآن، هيا بنا نطبق هذا المبدأ على النقطتين المعطاتين في السؤال: النقطة الأولى (9 ، 2) والنقطة الثانية (-3 ، -1). لنحدد متغيراتنا بوضوح لتجنب أي التباس: نعتبر س₁ = 9 و ص₁ = 2، وفي المقابل نعتبر س₂ = -3 و ص₂ = -1. ومن ثم، نعوض بهذه القيم في معادلة الميل مباشرةً: م = (-1 – 2) / (-3 – 9). وهنا تكمن أهمية الدقة في التعامل مع الإشارات السالبة.

بإجراء العمليات الحسابية، نجد أن البسط (الفرق في الإحداثيات الصادية) يصبح (-1 – 2) = -3. وفي الوقت نفسه، يصبح المقام (الفرق في الإحداثيات السينية) (-3 – 9) = -12. وعليه، فإن الميل يساوي ناتج قسمة -3 على -12. وكما هو معلوم في قواعد الرياضيات، فإن قسمة عدد سالب على عدد سالب آخر يعطي نتيجة موجبة. بتبسيط الكسر -3 / -12، نحصل على القيمة النهائية للميل وهي 1/4. هذه النتيجة الموجبة تعني أن الخط يتجه صعودًا عند النظر إليه من اليسار إلى اليمين؛ أي لكل أربع وحدات يتحركها الخط أفقيًا، يرتفع بمقدار وحدة واحدة رأسيًا.

• الإجابة: ص – ٤ = ٢(س + ٣)

شرح الإجابة:

إن إيجاد معادلة الخط المستقيم من خلال نقطتين معلومتين هو بمثابة رسم خريطة دقيقة لمسار هذا المستقيم في المستوى الإحداثي. ولكي نصل إلى هذه المعادلة، يتوجب علينا أولاً تحديد السمة الجوهرية التي تصف توجه هذا الخط، وهي ما يُعرف رياضيًا بـ “الميل”.

ومن هذا المنطلق، نبدأ رحلتنا بحساب ميل المستقيم، الذي يمثل معدل التغير الرأسي (على المحور الصادي) مقابل التغير الأفقي (على المحور السيني) بين أي نقطتين عليه. نطبق القاعدة الأساسية للميل: م = (ص₂ – ص₁) / (س₂ – س₁). وبالتعويض بإحداثيات النقطتين المعطاتين، (س₁، ص₁) وهي (-3 ، 4) والنقطة (س₂، ص₂) وهي (1 ، 12)، نصل إلى المعادلة التالية: م = (12 – 4) / (1 – (-3)).

وهنا يتجلى لنا أن طرح عدد سالب يكافئ إضافة نظيره الموجب، فتتحول العملية في المقام إلى (1 + 3). وعليه، يصبح الميل م = 8 / 4، مما يقودنا إلى قيمة واضحة ومحددة للميل وهي 2. هذا الرقم، 2، هو بصمة المستقيم التي تحدد درجة انحداره بشكل قاطع.

بعد أن أمسكنا بالمفتاح الأول وهو الميل، ننتقل إلى المرحلة التالية وهي صياغة هيكل المعادلة. نستخدم لهذا الغرض ما يسمى بـ “صيغة الميل ونقطة”، وهي قالب رياضي فعال يربط الميل بنقطة محددة على الخط. تأخذ هذه الصيغة الشكل التالي: ص – ص₁ = م (س – س₁). الآن، نختار إحدى النقطتين، ولتكن (-3 ، 4)، ونعوض بها إلى جانب قيمة الميل التي استخرجناها للتو.

وبالتالي، تصبح المعادلة: ص – 4 = 2 (س – (-3)). وكما أسلفنا، فإن طرح القيمة السالبة (-3) هو ذاته إضافة القيمة الموجبة 3. وبإجراء هذا التبسيط النهائي، نصل مباشرة إلى الصورة النهائية المطلوبة للمعادلة، وهي الإجابة الدقيقة التي تعبر عن هوية هذا المستقيم بشكل فريد: ص – ٤ = ٢(س + ٣).

• الإجابة: ص = (4/3)س + 4

شرح الإجابة:

إن الهدف الأساسي هنا هو تحويل معلومتين هندسيتين، متمثلتين في إحداثيات نقطتين، إلى صيغة جبرية محكمة تصف العلاقة الخطية بينهما. هذه الصيغة، المعروفة بمعادلة الميل والمقطع (ص = م س + ب)، تمثل الهوية الكاملة للخط المستقيم، حيث يرمز “م” إلى ميله أو انحداره، بينما يمثل “ب” نقطة تقاطعه مع المحور الصادي.

لننطلق في رحلتنا التحليلية بتحديد الركن الأول للمعادلة، وهو الميل (م). يُعرَّف الميل بأنه مقياس دقيق لمعدل التغير الرأسي مقابل التغير الأفقي بين أي نقطتين على المستقيم. وباستخدام النقطتين المعطاتين (0، 4) و (-3، 0)، نطبق القانون الرياضي لحساب هذا الانحدار: م = (التغير في ص) / (التغير في س) = (ص₂ – ص₁) / (س₂ – س₁). عند التعويض، نحصل على (0 – 4) / (-3 – 0)، وهو ما يساوي (-4) / (-3). وبالتالي، فإن قيمة الميل “م” لهذا المستقيم هي 4/3. هذه القيمة الموجبة تخبرنا أن المستقيم يتجه صعودًا عند التحرك من اليسار إلى اليمين.

بعد أن أحكمنا قبضتنا على قيمة الميل، ننتقل الآن لتحديد الركيزة الثانية للمعادلة، وهي المقطع الصادي (ب). يمثل هذا المقطع النقطة التي يلامس فيها المستقيم المحور العمودي (محور الصادات)، وهي تحدث دائمًا عندما تكون قيمة الإحداثي السيني تساوي صفرًا. بالنظر إلى النقاط المعطاة، نجد أن إحداها هي (0، 4). ويتجلى لنا هنا مفتاح مباشر للحل، فهذه النقطة بحد ذاتها هي المقطع الصادي، لأن قيمة “س” فيها تساوي صفرًا. إذن، نستنتج مباشرة أن قيمة “ب” تساوي 4.

والآن، نصل إلى لحظة التتويج، حيث نقوم بتجميع الجزأين اللذين توصلنا إليهما في بنية واحدة متكاملة. نأخذ الصيغة العامة للمعادلة الخطية (ص = م س + ب) ونقوم بتعويض قيمة الميل “م” التي حسبناها (4/3)، وقيمة المقطع الصادي “ب” التي استنتجناها (4). وبذلك، تتشكل المعادلة النهائية للمستقيم بصورتها الصريحة والأنيقة: ص = (4/3)س + 4. هذه المعادلة ليست مجرد إجابة، بل هي قصة كاملة تصف سلوك كل نقطة تقع على هذا الخط اللانهائي.

• الإجابة: ص = -٣/٤ س + ١٣/٢

شرح الإجابة:

إن إيجاد معادلة الخط المستقيم الذي يربط بين إحداثيين محددين في المستوى الديكارتي لهو عملية منطقية متسلسلة، تبدأ بتحديد الخاصية الأساسية التي تميز هذا المستقيم عن غيره. هذه الخاصية الجوهرية هي “الميل”، الذي يعبر عن درجة انحدار الخط ومعدل تغيره. لحساب هذا المعامل، نطبق علاقة رياضية بسيطة تقوم على قسمة الفارق في الإحداثيات الصادية (التغير الرأسي) على الفارق في الإحداثيات السينية (التغير الأفقي) بين النقطتين المعطاتين.

وانطلاقًا من هذه القاعدة، فإن الخطوة التأسيسية الأولى تتمثل في حساب معامل الانحدار (م) للنقطتين (2 ، 5) و (-2 ، 8). يتم ذلك عبر طرح الإحداثيات المتناظرة: (8 – 5) مقسومًا على (-2 – 2)، فتكون النتيجة هي 3 مقسومة على -4. إذن، فإن ميل هذا المستقيم يساوي -٣/٤. تشير الإشارة السالبة هنا إلى أن الخط يتجه للأسفل عند النظر إليه من اليسار إلى اليمين، وهي معلومة تصف سلوك المستقيم بصريًا.

بعد أن أمسكنا بطرف الخيط الأول، وهو معامل التوجيه، ننتقل إلى بناء الهيكل العام للمعادلة. نستخدم لهذا الغرض ما يعرف بـ “صيغة الميل ونقطة”، وهي قالب رياضي مرن يأخذ الشكل التالي: ص – ص₁ = م (س – س₁). في هذه الصيغة، نستعين بالميل الذي حسبناه (-٣/٤) وإحدى النقطتين، ولنختر النقطة (2 ، 5) لسهولة أرقامها. بالتعويض المباشر، نحصل على المعادلة الأولية: ص – ٥ = -٣/٤ (س – ٢). هذه الصيغة صحيحة تمامًا، لكنها ليست بالشكل النهائي المطلوب.

وهنا نصل إلى المرحلة الحاسمة، وهي تحويل الصيغة السابقة إلى “صيغة الميل والمقطع” (ص = م س + ب)، والتي تعد الصيغة الأكثر شيوعًا ووضوحًا. يتطلب هذا الأمر بضع خطوات جبرية دقيقة، تبدأ بفك القوس عبر توزيع الميل على ما بداخله، فتصب

• الإجابة: ص = –٦س – ٩

شرح الإجابة:

إن تحديد مسار خط مستقيم في المستوى الإحداثي يتطلب فهمًا للعلاقة الجوهرية بين نقطتين تقعان عليه، فهاتان النقطتان لا تحددان موقعه فحسب، بل ترسمان هويته الرياضية الكاملة المتمثلة في معادلته. للوصول إلى هذه المعادلة، نبدأ رحلتنا باستخراج الخاصية الأساسية للمستقيم وهي “الميل”، الذي يمثل مقياس انحداره أو معدل تغيره الرأسي بالنسبة لتغيره الأفقي.

لحساب هذا الميل (م)، نطبق العلاقة الرياضية: م = (التغير في الإحداثي الصادي) / (التغير في الإحداثي السيني)، أو بالصيغة (ص₂ – ص₁) / (س₂ – س₁). بتعويض قيم النقطتين المعطاتين (-1 ، -3) و (-2 ، 3)، نجد أن الميل يساوي (3 – (-3)) مقسومًا على (-2 – (-1)). يتبسط هذا التعبير إلى (3 + 3) / (-2 + 1)، مما يعطينا 6 / -1. وعليه، فإن ميل المستقيم هو -6، وهذه القيمة السالبة تشير إلى أن المستقيم ينحدر للأسفل كلما تحركنا من اليسار إلى اليمين على المحور السيني.

وبمعرفة هذا المعامل الأساسي، وهو الميل، ننتقل إلى المرحلة التالية وهي صياغة المعادلة الكاملة باستخدام صيغة الميل والمقطع: ص = م س + ب، حيث (ب) تمثل نقطة تقاطع المستقيم مع المحور الصادي. لتحديد قيمة (ب)، نختار إحدى النقطتين، ولتكن (-1 ، -3)، ونعوض بقيمتها إلى جانب قيمة الميل في المعادلة. يصبح لدينا: -3 = (-6) × (-1) + ب. من خلال هذه العملية الحسابية، نجد أن -3 = 6 + ب، وبإعادة ترتيب المعادلة لعزل (ب)، نحصل على ب = -3 – 6، أي أن قيمة المقطع الصادي (ب) هي -9.

والآن، بعد أن تكشّفت لنا قيمة كل من الميل (م = -6) والمقطع الصادي (ب = -9)، لم يتبقَ سوى تجميع هذه العناصر لتكوين الهيكل النهائي للمعادلة. بالعودة إلى الصيغة العامة ص = م س + ب، وبتعويض القيم التي استنتجناها، تتشكل لدينا المعادلة النهائية: ص = –٦س – ٩. هذه الصيغة ليست مجرد إجابة، بل هي القانون الدقيق الذي يحكم كل نقطة تقع على هذا المستقيم، وتصف بشكل فريد علاقته بالمحورين السيني والصادي.

• الإجابة: ص – ٦ = -٢/٣ (س + ١)

شرح الإجابة:

إن كل خط مستقيم في المستوى الإحداثي هو في جوهره قصة علاقة ثابتة بين قيم “س” و “ص” لجميع النقاط التي تقع عليه. ولكي نصف هذه العلاقة ونصيغها في معادلة رياضية، فإننا نحتاج إلى مفتاحين أساسيين: نقطة تقع على هذا المستقيم، ومقدار ميله أو انحداره. وفي هذه المسألة، لدينا نقطتان، وهو ما يزيد عن حاجتنا، مما يمنحنا رفاهية الاختيار ووسيلة للتحقق.

والخطوة الأولى الجوهرية تتمثل في تحديد ميل هذا المستقيم، الذي يعبر عن درجة انحداره. ويُحسب الميل بقسمة التغير الرأسي (فرق الصادات) على التغير الأفقي (فرق السينات) بين أي نقطتين عليه. بتطبيق هذه القاعدة على النقطتين المُعطاة (س١، ص١) = (-١، ٦) و (س٢، ص٢) = (٢، ٤)، نصل إلى الميل (م) كالتالي: م = (٤ – ٦) / (٢ – (-١)) = -٢ / (٢ + ١) = -٢/٣. هذه القيمة السالبة للميل تخبرنا بأن المستقيم ينحدر إلى الأسفل كلما تحركنا من اليسار إلى اليمين على المحور السيني.

وبعد أن أصبح الميل بحوزتنا، ننتقل إلى استخدام إحدى الصيغ الأساسية لمعادلة الخط المستقيم، وهي صيغة “الميل ونقطة”. تنص هذه الصيغة على أن: ص – ص١ = م (س – س١). الآن، كل ما علينا فعله هو اختيار إحدى النقطتين (ولنختر النقطة (-١، ٦) لسهولة التعويض) ودمجها مع الميل الذي حسبناه. بالتعويض المباشر، نضع قيمة الميل م = -٢/٣، وقيمة الإحداثي السيني س١ = -١، وقيمة الإحداثي الصادي ص١ = ٦.

من خلال هذا التعويض الدقيق، تتشكل المعادلة أمامنا: ص – ٦ = -٢/٣ (س – (-١)). وبتبسيط القوس، تتحول المعادلة إلى صورتها النهائية والأكثر وضوحًا: ص – ٦ = -٢/٣ (س + ١). هذه المعادلة ليست مجرد نتيجة، بل هي التعبير الرياضي الدقيق الذي يربط أي نقطة (س، ص) تقع على هذا المستقيم المحدد، وتلخص قصته الهندسية بأكملها في علاقة جبرية واحدة متكاملة.

• الإجابة: معادلة المستقيم هي: ص = –١٥/٧س – ٤/٧، والميل (م) = –١٥/٧، ويقطع محور السينات عند النقطة (–٤/١٥، ٠)، ويقطع محور الصادات عند النقطة (٠، –٤/٧).

شرح الإجابة:

إن لكل خط مستقيم في الفضاء الإحداثي بصمة فريدة تصف مساره وانحداره، وهذه البصمة هي ما نطلق عليها اسم “معادلة المستقيم”. ولكي نكشف عن هذه المعادلة، نبدأ رحلتنا بتحديد ميل أو انحدار هذا الخط، والذي يمثل جوهر حركته. الانطلاق يكون من الإحداثيين المعطيين: النقطة الأولى (س١، ص١) وهي (-٤ ، ٨)، والنقطة الثانية (س٢، ص٢) وهي (٣ ، -٧). من هنا، نطبق قانون الميل (م) الذي يُعَد بمثابة مقياس للتغير الرأسي مقابل التغير الأفقي، وصيغته الرياضية هي: م = (ص٢ – ص١) / (س٢ – س١). بالتعويض الدقيق للقيم، نجد أن الميل يساوي ((-٧) – ٨) مقسوماً على (٣ – (-٤))، مما يقودنا إلى نتيجة بسطه -١٥ ومقامه ٧. إذن، ميل المستقيم هو –١٥/٧.

وما إن أمسكنا بخيط الميل، حتى أصبح بناء المعادلة الكاملة في متناول اليد. نلجأ هنا إلى ما يعرف بـ “صيغة النقطة والميل”، وهي أداة رياضية قوية تسمح لنا بتشكيل المعادلة باستخدام الميل وأي نقطة يمر بها المستقيم. الصيغة هي: ص – ص١ = م(س – س١). باختيار النقطة الأولى (-٤، ٨) والميل الذي استنتجناه للتو (–١٥/٧)، تتشكل المعادلة الأولية على النحو التالي: ص – ٨ = –١٥/٧ (س – (-٤)). وبتبسيط هذا التعبير، نجد أن ص – ٨ = –١٥/٧ (س + ٤). وبتوزيع الميل على القوس، تصبح المعادلة ص – ٨ = –١٥/٧س – ٦٠/٧. الخطوة الأخيرة تتطلب عزل المتغير “ص” في طرف بمفرده، وذلك بإضافة ٨ إلى كلا الطرفين، فتستقر المعادلة على هيئتها النهائية: ص = –١٥/٧س – ٤/٧.

والآن، بعد أن تجلّت لنا معادلة المستقيم بوضوح، يتبقى أن نحدد نقاط التقاء هذا الخط مع المحاور الأساسية في المستوى الديكارتي: محور السينات ومحور الصادات. إن نقطة تقاطع أي مستقيم مع محور الصادات (المحور الرأسي) تحدث دائمًا عندما تكون قيمة “س” تساوي صفرًا. بالعودة إلى معادلتنا النهائية وتعويض “س” بصفر، نجد أن ص = (–١٥/٧ * ٠) – ٤/٧، وهو ما يعطينا قيمة “ص” مباشرة: –٤/٧. بالتالي، فإن المستقيم يلامس محور الصادات عند النقطة (٠، –٤/٧). وعلى الجانب الآخر، فإن نقطة التقاطع مع محور السينات (المحور الأفقي) تظهر عندما تكون قيمة “ص” هي التي تساوي صفرًا. بوضع صفر مكان “ص” في المعادلة، نحصل على: ٠ = –١٥/٧س – ٤/٧. وبحل هذه المعادلة البسيطة لإيجاد “س”، نجد أن ١٥/٧س = –٤/٧، وبعد الاختصار، نصل إلى أن قيمة “س” هي –٤/١٥. ومن ثم، فإن المستقيم يقطع محور السينات عند النقطة (–٤/١٥، ٠).

• الإجابة: كانت إجابة أحمد هي الصحيحة؛ لأن سمير ارتكب خطأً في تطبيق القانون وعكس بين الإحداثي السيني والإحداثي الصادي للنقطة التي استخدمها في التعويض.

شرح الإجابة:

إن القضية المطروحة هنا تتمحور حول تحديد المسار الخطي الوحيد الذي يربط بين نقطتين في المستوى الإحداثي، ولكل مسار خطي صيغة رياضية فريدة تعبر عنه. للوصول إلى هذه الصيغة، نتبع مسارًا منطقيًا لا يقبل الخطأ، وهو ما نجح فيه أحمد وأخفق فيه سمير.

الخطوة الأولى والأكثر أهمية هي تحديد “ميل” المستقيم، أو ما يمكن تسميته “معامل التوجيه” الذي يصف درجة انحداره. يُحسب هذا المعامل بقسمة الفارق في الإحداثيات الصادية (التغير الرأسي) على الفارق في الإحداثيات السينية (التغير الأفقي). بتطبيق ذلك على النقطتين (3، -2) و(6 ، 4)، يكون الحساب كالتالي: (4 – (-2)) مقسومًا على (6 – 3)، مما ينتج عنه 6 مقسومًا على 3، لتكون قيمة الميل تساوي 2. هذه هي حجر الزاوية الذي يُبنى عليه الحل الصحيح.

انطلاقًا من هذه القاعدة، ننتقل إلى صياغة المعادلة باستخدام ما يُعرف بـ”صيغة الميل ونقطة”، وهي: ص – ص1 = م(س – س1)، حيث (م) هو الميل الذي حسبناه للتو، و(س1، ص1) هي إحداثيات أي من النقطتين المتاحتين. اتبع أحمد هذا المسار بدقة، فلو استخدم النقطة (6، 4) على سبيل المثال، لعوض في المعادلة لتصبح: ص – 4 = 2(س – 6)، وبعد تبسيطها تنتج المعادلة النهائية: ص = 2س – 8. هذه هي المعادلة السليمة التي تمثل المستقيم بدقة متناهية.

وهنا يكمن الزلل الجوهري الذي وقع فيه سمير. فبدلًا من أن يضع الإحداثي الصادي مكان (ص1) والإحداثي السيني مكان (س1)، قام بعكسهما. عند استخدامه للنقطة (3، -2)، يفترض أن تكون المعادلة (ص – (-2) = 2(س – 3))، لكنه على الأرجح استبدل المواضع فكتب شيئًا على غرار (ص – 3 = 2(س – (-2)))، وهذا خطأ منهجي فادح؛ لأنه بذلك لم يعد يستخدم النقطة (3، -2) بل نقطة أخرى تمامًا، مما قاده حتمًا إلى استنتاج معادلة خاطئة تصف مستقيمًا مختلفًا كليًا.

مما يقودنا إلى نتيجة حتمية مفادها أن الدقة في الهندسة الإحداثية ليست ترفًا، بل هي أساس الحل. فالنقطة (س، ص) لها هوية مكانية محددة تختلف جذريًا عن هوية النقطة (ص، س). إن التزام أحمد بالترتيب الصحيح للإحداثيات ضمن القوانين الرياضية الثابتة هو ما ضمن له الوصول إلى الإجابة الصائبة، بينما كان عدم انتباه سمير لهذه القاعدة الأولية هو سبب إجابته الخاطئة.

• الإجابة: ص – ج = (ي – ج) / (هـ – ف) * (س – ف)

شرح الإجابة:

في عالم الرياضيات، كل خط مستقيم هو قصة فريدة تُروى من خلال معادلة دقيقة. ولكتابة حكاية هذا المستقيم الذي يربط بين النقطتين (ف، ج) و (هـ، ي)، فإننا نحتاج إلى عنصرين أساسيين: نقطة معلومة تقع على هذا الخط، ومقدار ميله أو انحداره.

بادئ ذي بدء، لا بد من استخلاص “الميل”، وهو القيمة التي تعبر عن درجة انحدار المستقيم. هذا الميل، الذي نرمز له بالحرف (م)، هو ببساطة نسبة التغير الرأسي (على المحور الصادي) إلى التغير الأفقي (على المحور السيني) بين أي نقطتين على الخط. ومن هذا المنطلق، نحسبه باستخدام النقطتين المعطاتين كالتالي: م = (ي − ج) / (هـ − ف). هذه القيمة المحسوبة تمثل جوهر هوية المستقيم وثبات اتجاهه في المستوى الإحداثي.

والآن، بعد أن أمسكنا بقيمة الميل (م)، ننتقل إلى الصيغة القياسية للمعادلة بصيغة “الميل ونقطة”، والتي تُعد بمثابة القالب الرياضي الذي سنصب فيه معلوماتنا. هذه الصيغة هي: ص – ص₁ = م (س – س₁)، حيث (س₁، ص₁) هي إحداثيات أي نقطة نختارها على المستقيم.

وهنا يكمن جوهر المسألة، حيث ندمج ما توصلنا إليه في خطوة واحدة متكاملة. نختار إحدى النقطتين لتكون مرجعنا، ولنختر النقطة (ف، ج). نقوم الآن بتعويض قيمة الميل التي استنبطناها، وإحداثيات هذه النقطة المختارة في القالب الرياضي. بالتالي، نضع (ج) مكان (ص₁)، ونضع (ف) مكان (س₁)، ونضع الكسر (ي − ج) / (هـ − ف) مكان (م). وبذلك، تتشكل أمامنا المعادلة النهائية بصورتها الكاملة والدقيقة: ص – ج = (ي – ج) / (هـ – ف) * (س – ف).

• الإجابة: لا، هذه النقاط لا يمكن أن تشكل رؤوس مستطيل.

شرح الإجابة:

إن الحكم على أي شكل رباعي بأنه مستطيل يقتضي بالضرورة تحقق شرط جوهري وأساسي، ألا وهو أن تكون جميع زواياه قائمة، أي أن كل ضلعين متجاورين فيه يجب أن يكونا متعامدين. للانتقال من هذا المفهوم النظري إلى التطبيق العملي في عالم الهندسة الإحداثية، فإننا نلجأ إلى أداة رياضية دقيقة تُعرف بـ “الميل” أو “معامل الانحدار”، والذي يقيس درجة انحدار أي خط مستقيم.

وبناءً على هذا المبدأ، نبدأ بتحليل القطعة المستقيمة الأولى التي تصل بين النقطتين (-2 ، 1) و (4 ، 3). من خلال تطبيق معادلة الميل، نجد أن انحدار هذا الضلع المحتمل هو (3 – 1) مقسوماً على (4 – (-2))، مما يعطينا ناتجاً قدره 2 / 6، والذي يُبسَّط إلى 1/3. هذا الرقم يمثل السمة الهندسية للقطعة الأولى.

ثم ننتقل بالتحليل إلى ضلع آخر مجاور له، وهو الذي يمكن أن يتشكل بين النقطة (4 ، 3) والنقطة (8 ، -3). عند حساب ميل هذه القطعة المستقيمة الثانية، نجد أن قيمته هي (-3 – 3) مقسومة على (8 – 4)، فتكون النتيجة -6 / 4، والتي تُختصر إلى -3/2. الآن، أصبح بين أيدينا مقدار انحدار كل من القطعتين المستقيمتين المتجاورتين.

وهنا تكمن لحظة الحسم الرياضي؛ فالقاعدة الثابتة في الهندسة التحليلية تقرر أن شرط التعامد بين أي خطين مستقيمين هو أن يكون حاصل ضرب ميليهما مساوياً للعدد (-1) تحديداً. وعندما نطبق هذه القاعدة على معطياتنا، نجد أن حاصل ضرب الميلين (1/3) × (-3/2) يساوي -3/6، أي -1/2. هذه النتيجة، -1/2، تختلف اختلافاً جذرياً عن الشرط اللازم للتعامد وهو -1.

يترتب على ذلك حقيقة رياضية لا تقبل الجدل، وهي أن الضلعين المذكورين ليسا متعامدين، وبالتالي فإن الزاوية المتشكلة عند نقطة التقائهما (4 ، 3) ليست زاوية قائمة. وبما أن المستطيل يُعرَّف بكونه شكلاً رباعياً زواياه الأربع قوائم، فإن انتفاء هذا الشرط الأساسي في زاوية واحدة فقط يكفي لهدم الفرضية بأكملها، ويؤكد بشكل قاطع أن هذه النقاط الأربع لا يمكن أن تجتمع لتشكل رؤوس مستطيل.