• اجابة السؤال هي: ن = ٣ن – ٥.

شرح الإجابة :

لنفهم كيف توصلنا إلى هذه المعادلة، دعونا نتأمل المتتالية المعطاة. في البداية، لدينا سلسلة من الأعداد: -٢، ١، ٤، ٧، ١٠، ١٣، وهكذا. ما نود فعله هو إيجاد صيغة رياضية تمكننا من حساب أي حد في هذه المتتالية مباشرة، دون الحاجة إلى معرفة الحدود التي تسبقه. هذه الصيغة تسمى معادلة الحد النوني.

أول ما نلاحظه هو أن الفرق بين كل حد والحد الذي يليه ثابت. لنحسب هذا الفرق: ١ – (-٢) = ٣، ٤ – ١ = ٣، ٧ – ٤ = ٣، وهكذا. هذا الفرق الثابت، والذي يساوي ٣، يسمى الأساس في المتتاليات الحسابية. وجود أساس ثابت يعني أننا نتعامل مع متتالية حسابية، وهو نوع خاص من المتتاليات يتميز بنموه المنتظم.

الآن، كيف نستغل هذه المعلومة لإيجاد معادلة الحد النوني؟ بشكل عام، معادلة الحد النوني لأي متتالية حسابية تأخذ الشكل التالي: ح ن = أ + (ن – ١) × د، حيث أن “ح ن” هو الحد النوني الذي نبحث عنه، “أ” هو الحد الأول في المتتالية، “ن” هو رقم الحد الذي نريد حسابه (مثلا، إذا أردنا الحد الخامس، فإن ن = ٥)، و”د” هو الأساس الذي حسبناه سابقًا.

في حالتنا هذه، الحد الأول (أ) هو -٢، والأساس (د) هو ٣. بالتالي، يمكننا استبدال هذه القيم في المعادلة العامة: ح ن = -٢ + (ن – ١) × ٣. الآن، كل ما علينا فعله هو تبسيط هذه المعادلة.

نقوم بتوزيع الضرب على القوس: ح ن = -٢ + ٣ن – ٣. ثم نجمع الحدود الثابتة: ح ن = ٣ن – ٥. وهكذا، نكون قد توصلنا إلى معادلة الحد النوني للمتتالية المعطاة. هذه المعادلة تخبرنا بأنه لحساب أي حد في المتتالية، نضرب رقم هذا الحد في ٣ ثم نطرح ٥.

لنتأكد من أن هذه المعادلة صحيحة، يمكننا تجربتها على بعض الحدود الموجودة في المتتالية. على سبيل المثال، لنحسب الحد الثالث (الذي قيمته ٤): ح ٣ = ٣ × ٣ – ٥ = ٩ – ٥ = ٤. وهذا صحيح! لنحاول أيضًا حساب الحد الخامس (الذي قيمته ١٠): ح ٥ = ٣ × ٥ – ٥ = ١٥ – ٥ = ١٠. مرة أخرى، النتيجة صحيحة.

بالإضافة إلى ذلك، يمكننا استخدام هذه المعادلة لحساب أي حد آخر في المتتالية، حتى لو كان بعيدًا جدًا. على سبيل المثال، إذا أردنا حساب الحد المئة، فإننا نعوض ن = ١٠٠ في المعادلة: ح ١٠٠ = ٣ × ١٠٠ – ٥ = ٣٠٠ – ٥ = ٢٩٥. بالتالي، الحد المئة في هذه المتتالية هو ٢٩٥.

خلاصة القول، معادلة الحد النوني للمتتالية -٢، ١، ٤، ٧، ١٠، ١٣، …… هي ح ن = ٣ن – ٥. هذه المعادلة تمثل صيغة رياضية دقيقة تصف العلاقة بين رقم الحد وقيمته في هذه المتتالية الحسابية. إن فهم كيفية اشتقاق هذه المعادلة يمنحنا القدرة على تحليل وفهم العديد من المتتاليات الأخرى، ويساعدنا في تطبيق هذه المفاهيم في مجالات أوسع من الرياضيات والعلوم. هذا الأسلوب، الذي يعتمد على إيجاد قاعدة عامة من خلال ملاحظة الأنماط، يعتبر أساسيًا في التفكير الرياضي وحل المشكلات.

شرح الإجابة:

لفهم كيفية إيجاد مركبتي المتجه M، يجب أولاً إدراك أن أي متجه في المستوى الإحداثي يمكن تحليله إلى مركبتين أساسيتين: واحدة تمتد على طول المحور الأفقي (X)، والأخرى على طول المحور العمودي (Y). هذه العملية تُعرف باسم “تحليل المتجه”، وهي خطوة جوهرية في دراسة الفيزياء والرياضيات التطبيقية، خصوصاً في موضوعات الحركة والقوى.

عند النظر إلى الشكل 7 – 5، نلاحظ أن المتجه M يميل بزاوية معينة انطلاقاً من نقطة الأصل، ويتجه نحو الأعلى واليمين. هذا الاتجاه المركب يتطلب تفكيك المتجه إلى مركبتين مستقلتين، كل منهما يعبر عن مقدار التأثير في اتجاه معين.

نبدأ بإسقاط المتجه على المحور الأفقي باستخدام خطوط متوازية للمحور العمودي، فنحصل على المركبة الأفقية Mx. هذا الإسقاط يمثل البُعد الذي يقطعه المتجه في الاتجاه الأفقي، وقد تم تحديده بدقة بأنه يساوي 4.0 وحدات، ويتجه نحو اليمين، أي في اتجاه المحور X الموجب.

ثم ننتقل إلى المركبة الرأسية My، والتي نحصل عليها من خلال إسقاط المتجه على المحور العمودي باستخدام خطوط موازية للمحور الأفقي. هذا الإسقاط يعكس مقدار الحركة أو التأثير في الاتجاه العمودي، وقد تبين أنه يساوي 3.0 وحدات، متجهاً نحو الأعلى، أي في اتجاه المحور Y الموجب.

للتأكد من صحة هذه القيم، نلجأ إلى التحقق الهندسي باستخدام نظرية فيثاغورس، التي تنص على أن مربع طول الوتر في مثلث قائم الزاوية يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين. نطبق القانون كالتالي:

طول المتجه M = √(Mx² + My²) = √(4×4 + 3×3) = √(16 + 9) = √25 = 5

وهذا يتطابق تماماً مع طول المتجه الأصلي كما هو مبين في الشكل، مما يعزز دقة التحليل ويؤكد صحة الحسابات.

من خلال هذا التفسير، يتضح أن تحليل المتجهات لا يقتصر على مجرد استخراج قيم عددية، بل يتطلب فهماً عميقاً للعلاقات الهندسية والرياضية التي تحكم حركة الأجسام واتجاهاتها، وهو ما يشكل أساساً متيناً لفهم الظواهر الفيزيائية في الحياة اليومية والعلوم التطبيقية.

شرح الإجابة:

لفهم كيفية إيجاد محصلة ثلاثة متجهات، يجب أولًا إدراك أن كل متجه في الفضاء ثنائي الأبعاد يمكن تمثيله بمركبتين: واحدة على المحور الأفقي (x)، والأخرى على المحور العمودي (y). هذه الطريقة تتيح لنا التعامل مع كل متجه كزوج من القيم العددية، مما يسهل عملية الجمع والتحليل.

نبدأ بتفكيك كل متجه إلى مركبتيه باستخدام العلاقات المثلثية، حيث تعتمد كل مركبة على الزاوية التي يصنعها المتجه مع المحور الأفقي. هذا التفكيك يتم وفقًا للمعادلات التالية:

– المتجه الأول:

Ax = A × cos(α)

Ay = A × sin(α)

– المتجه الثاني:

Bx = B × cos(β)

By = B × sin(β)

– المتجه الثالث:

Cx = C × cos(γ)

Cy = C × sin(γ)

بعد ذلك، ننتقل إلى الخطوة التالية وهي جمع المركبات الأفقية والعمودية لكل المتجهات على حدة. هذا الجمع يتم وفقًا لمبدأ جمع المتجهات في الاتجاه نفسه:

– Rx = Ax + Bx + Cx

– Ry = Ay + By + Cy

وبعد إجراء العمليات الحسابية، نحصل على القيم التالية:

– Rx = 6 وحدات

– Ry = 3 وحدات

الآن، نستخدم هذه المركبات لاشتقاق مقدار واتجاه المحصلة النهائية. لحساب مقدار المحصلة، نطبق نظرية فيثاغورس على Rx وRy:

– R = √(Rx² + Ry²) = √(6² + 3²) = √(36 + 9) = √45 = 6.7

أما لتحديد اتجاه المحصلة، فنستخدم الدالة العكسية للظل (arctangent) التي تربط بين المركبتين:

– θ = arctan(Ry / Rx) = arctan(3 / 6) = arctan(0.5) = 27°

وبذلك، تكون المحصلة النهائية متجهًا مقداره 6.7 وحدات، ويتجه بزاوية مقدارها 27° مع المحور الأفقي، وهو ما يعكس بدقة تامة تأثير المتجهات الثلاثة مجتمعة.

هذا الحل يجمع بين التحليل الرياضي الدقيق والتطبيق العملي للمفاهيم الفيزيائية، ويعزز فهم الطالب لكيفية التعامل مع المتجهات في السياقات الهندسية والفيزيائية، مما يرسّخ لديه القدرة على الربط بين النظرية والتطبيق بأسلوب منطقي ومنظم.

• الإجابة: س = ٢

شرح الإجابة:

في بداية الحل، نلاحظ أن المعادلة تحتوي على حد جبري مركب وهو ٣س، بالإضافة إلى ثابت مضاف إليه وهو ١. ولحل هذه المعادلة باستخدام بطاقات الجبر، نبدأ أولاً بإزالة الثابت من طرف المعادلة الذي يحتوي على المتغير، وذلك لتحقيق التوازن العددي بين الطرفين.

نقوم بطرح العدد ١ من كلا الطرفين، لأن الطرح هنا يُعد خطوة أساسية لفصل المتغير عن الثابت. تصبح المعادلة بعد هذه الخطوة:

٣س + ١ – ١ = ٧ – ١

أي أن: ٣س = ٦

وهنا نكون قد أزلنا الثابت بنجاح، مما يجعل المعادلة أكثر بساطة، ويُظهر بوضوح أن حاصل ضرب العدد ٣ في قيمة س يعطي الناتج ٦.

ننتقل الآن إلى الخطوة التالية، وهي التخلص من معامل المتغير س، والذي يساوي ٣. لتحقيق ذلك، نقسم كلا الطرفين على ٣، لأن القسمة على نفس العدد في الطرفين تحافظ على توازن المعادلة وتسمح لنا بعزل المتغير:

٣س ÷ ٣ = ٦ ÷ ٣

وبالتالي: س = ٢

بهذا نكون قد توصلنا إلى الحل النهائي لل المعادلة، وهو أن قيمة س تساوي ٢. هذه الطريقة في استخدام بطاقات الجبر تُظهر بوضوح كيف يمكن للطالب أن يتعامل مع المعادلات الخطية بطريقة منظمة، حيث يتم أولاً إزالة الثوابت ثم التخلص من المعاملات، مما يعزز فهمه لمبدأ التوازن العددي ويُرسّخ لديه خطوات الحل المنهجي.

• الإجابة: س = -١

شرح الإجابة:

للوصول إلى حل هذه المعادلة الجبرية، نتخيلها ممثلة ببطاقات مادية. في أحد طرفي الميزان، نضع ثلاث بطاقات مستطيلة تمثل المتغير “س”، وإلى جانبها سبع بطاقات مربعة سالبة تمثل العدد “-٧”. أما في الطرف الآخر من الميزان، فنضع عشر بطاقات مربعة سالبة لتمثيل العدد “-١٠”. الهدف الأساسي يكمن في الحفاظ على توازن هذا الميزان مع عزل بطاقات “س” في طرف بمفردها.

تنطلق الخطوة الأولى من السعي للتخلص من البطاقات السالبة السبع الموجودة بجوار المتغير “س”. ولتحقيق هذا التوازن الدقيق، نضيف سبع بطاقات مربعة موجبة إلى كلا طرفي المعادلة. عند إضافة هذه البطاقات للطرف الأول، فإن كل بطاقة موجبة تلغي تأثير بطاقة سالبة، مما ينتج عنه أزواج صفرية تزول من المعادلة، فلا يتبقى سوى البطاقات الثلاث التي تمثل “٣س”. وعلى الجانب الآخر، تلغي البطاقات الموجبة السبع مثلها من البطاقات السالبة العشر، ويبقى لدينا ثلاث بطاقات سالبة فقط، وهكذا تتحول المعادلة إلى الصورة المبسطة: ٣س = -٣.

والآن، وقد وصلنا إلى مرحلة حاسمة، نجد أن ثلاث بطاقات للمتغير “س” تعادل ثلاث بطاقات سالبة. ولكي نكتشف قيمة بطاقة “س” الواحدة، لا بد من توزيع البطاقات السالبة الثلاث بالتساوي على بطاقات “س” الثلاث. هذه العملية، التي تمثل القسمة حسابيًا، تكشف لنا أن كل بطاقة من “س” تقابلها بطاقة سالبة واحدة. وعليه، فإن قيمة المجهول “س” تصبح -١.

• الإجابة: س = -٣

شرح الإجابة:

لنفكر في المعادلة المطروحة كأنها ميزان ذو كفتين يجب أن يظل متوازنًا دائمًا. في الكفة الأولى، نضع سبع بطاقات موجبة (تمثل الرقم ٧) إلى جانب ست بطاقات مستطيلة تمثل المتغير “س”. أما في الكفة الثانية، فنضع إحدى عشرة بطاقة سالبة لتمثل العدد (-١١). الهدف الأساسي هنا هو عزل البطاقات المستطيلة “س” في كفة بمفردها لمعرفة قيمتها الحقيقية.

الخطوة المحورية الأولى هي التخلص من البطاقات الموجبة السبع الموجودة بجانب المتغير “س”. في عالم بطاقات الجبر، لا يمكننا ببساطة إزالتها، بل يجب معادلتها. ويتم ذلك بإضافة سبع بطاقات سالبة إلى الكفة الأولى. لكن، للحفاظ على توازن الميزان، فإن أي إجراء نقوم به في كفة يجب أن نطبقه تمامًا على الكفة الأخرى. وعليه، نضيف سبع بطاقات سالبة أيضًا إلى الكفة الثانية.

الآن، تتضح الصورة أكثر. في الكفة الأولى، كل بطاقة موجبة تلتقي ببطاقة سالبة فتلغي كل منهما الأخرى، مكونة ما يسمى “الزوج الصفري”. نتيجة لذلك، تختفي البطاقات السبع الموجبة والسبع السالبة، ولا يتبقى في هذه الكفة سوى ست بطاقات للمتغير “س”. في المقابل، أصبحت الكفة الثانية تحتوي على مجموعة من البطاقات السالبة فقط، وهي الإحدى عشرة الأصلية مضافًا إليها السبع الجديدة، ليصبح المجموع الكلي ثماني عشرة بطاقة سالبة (-١٨).

وصلنا بذلك إلى مرحلة حاسمة، حيث يخبرنا الميزان المتوازن أن ست بطاقات “س” تساوي في قيمتها (-١٨). ولكي نكتشف قيمة بطاقة “س” الواحدة، يتوجب علينا توزيع البطاقات السالبة الثماني عشرة بالتساوي على بطاقات “س” الست. إنها عملية تقسيم منطقية لمعرفة نصيب كل متغير.

عند تنفيذ هذا التوزيع، نجد أن كل بطاقة مستطيلة من نوع “س” يقابلها ثلاث بطاقات سالبة. هذا الاستنتاج هو جوهر الحل، فهو يترجم رياضيًا إلى أن قيمة المتغير الواحد “س” تعادل -٣، وهي الإجابة النهائية للمعادلة.

• الإجابة: ١٩

شرح الإجابة:

المنطلق الأساسي لحل هذه المسألة يكمن في فك شفرة المعادلة الأولى المعطاة، وهي: س – ٧ = ١٤. هذه المعادلة تمثل ميزانًا رياضيًا دقيقًا، حيث يتساوى الطرف الأيمن مع الطرف الأيسر. وجوهر الأمر هنا هو عزل المتغير “س” لمعرفة قيمته الأصلية التي تُعد مفتاح الحل الكامل.

وتقتضي الضرورة المنطقية لإيجاد قيمة “س” أن نتخلص من العدد المطروح منه، وهو -٧. يتم ذلك من خلال تطبيق العملية العكسية للطرح، ألا وهي الجمع. لذلك، نقوم بإضافة العدد ٧ إلى كلا طرفي المعادلة للحفاظ على حالة التوازن القائمة بينهما، فلا يصح أن نُضيف لجهة دون الأخرى.

هذه الخطوة المنهجية تقودنا مباشرةً إلى نتيجة حتمية. في الطرف الأول، يلغي الجمع الطرح، فيتبقى لدينا “س” منفردًا. أما في الطرف الثاني، فإن حاصل جمع ١٤ و ٧ هو ٢١. وبذلك، نكون قد كشفنا عن القيمة الحقيقية للمتغير “س”، وهي ٢١.

وهنا، ننتقل إلى الشق الثاني من السؤال، وهو الهدف النهائي للمسألة. فالمطلوب ليس قيمة “س” بحد ذاتها، بل قيمة المقدار الجبري “س – ٢”. بعد أن أصبح مفتاح الحل، وهو قيمة “س”، بين أيدينا، باتت المهمة التالية واضحة ومباشرة.

كل ما علينا فعله الآن هو تعويض قيمة “س” التي توصلنا إليها (٢١) في هذا المقدار. فتصبح العملية الحسابية ببساطة: ٢١ – ٢. ومن خلال عملية طرح يسيرة، نصل إلى الإجابة النهائية والقاطعة، وهي ١٩.

• الإجابة: قيمة ص تساوي ٧.

شرح الإجابة:

إن جوهر التعامل مع المعادلات الجبرية، مثل المعادلة المطروحة أمامنا، يكمن في فهم الهدف الأساسي، وهو عزل المتغير المجهول، الذي نمثله هنا بالرمز “ص”، في طرف مستقل من المعادلة. الأمر أشبه بكفتي ميزان يجب أن تبقيا في حالة توازن دائم؛ فأي إجراء نتخذه على الكفة اليمنى لا بد أن نطبقه بحذافيره على الكفة اليسرى للحفاظ على صحة العلاقة الرياضية. مهمتنا الأولى هي تنظيم المعادلة بفصل الأعداد المعلومة عن الحد الذي يحتوي على المجهول.

نبدأ مسارنا نحو الحل بالنظر إلى العدد ٧، وهو حد ثابت في الطرف الأيسر. لعزل الحد “-٤ص”، يجب علينا نقل العدد ٧ إلى الطرف الآخر. وبما أن إشارته موجبة، فإن العملية الرياضية التي تحيِّده هي الطرح. لذلك، نقوم بطرح العدد ٧ من كلا طرفي المعادلة للحفاظ على التوازن الذي ذكرناه. فتصبح المعادلة على النحو التالي: -٢١ – ٧ = ٧ – ٤ص – ٧. ينتج عن هذه الخطوة المحورية تبسيط المعادلة إلى صيغة أوضح وأقرب للحل، وهي: -٢٨ = -٤ص.

والآن، نصل إلى المرحلة الحاسمة حيث المتغير “ص” مرتبط بمعاملٍ عددي هو “-٤” من خلال عملية الضرب. ولكي نحرر “ص” ونجعله وحيداً، نلجأ إلى العملية العكسية للضرب، ألا وهي القسمة. نقسم كلا الطرفين على معامل “ص” وهو “-٤”. وهنا يجب الانتباه لقاعدة الإشارات، حيث إن قسمة عدد سالب على عدد سالب آخر تعطينا ناتجاً موجباً. بناءً عليه، تصبح العملية كالتالي: (-٢٨ ÷ -٤) = (-٤ص ÷ -٤)، ومنها نستنتج أن القيمة النهائية للمتغير هي ص = ٧.

أما عن التحقق، فهو ليس مجرد خطوة إضافية، بل هو برهان قاطع يؤكد دقة استنتاجنا. للقيام بذلك، نعود إلى المعادلة الأصلية ونعوض عن كل “ص” بالقيمة التي توصلنا إليها، وهي ٧. تصبح المعادلة الأصلية: -٢١ = ٧ – ٤(٧). عند حساب الطرف الأيسر، نجد أن ٤ مضروبة في ٧ تساوي ٢٨، فتتحول المعادلة إلى: -٢١ = ٧ – ٢٨. وبإجراء عملية الطرح، نجد أن ٧ – ٢٨ تساوي -٢١ بالفعل. بما أن الطرف الأيمن (-٢١) يساوي الآن الطرف الأيسر (-٢١)، فقد أثبتنا بما لا يدع مجالاً للشك أن حلنا صحيح تماماً.

• الإجابة: قيمة المتغير (س) هي -٣.

شرح الإجابة:

إن التعامل مع المعادلات الجبرية يشبه إلى حد بعيد مهمة تحقيق التوازن الدقيق لميزان ذي كفتين؛ فالعلامة (=) هي نقطة الارتكاز التي تفصل بين طرفي المعادلة، وأي إجراء نتخذه في طرف لا بد أن نطبقه بحذافيره على الطرف الآخر للحفاظ على هذا الاتزان الجوهري. هدفنا الأسمى هنا هو عزل المتغير (س) في طرف بمفرده، لنكشف عن قيمته الحقيقية.

نبدأ رحلتنا بتفكيك بنية المعادلة ٥س + ٧ = -٨. الخطوة الأولى تستدعي التخلص من العدد الثابت (+٧) المجاور للمتغير. ولتحقيق ذلك، نلجأ إلى العملية العكسية للجمع وهي الطرح، فنقوم بطرح العدد ٧ من كلا الطرفين. ينتج عن ذلك أن الطرف الأيمن يصبح ٥س + ٧ – ٧، فتُلغي (+٧) نظيرتها (-٧)، ويبقى لدينا ٥س فقط. وفي المقابل، يخضع الطرف الأيسر لنفس الإجراء، فيتحول من -٨ إلى -٨ – ٧، وتكون محصلته النهائية -١٥. وهكذا، تتبسط المعادلة الأصلية إلى صيغة أكثر وضوحاً: ٥س = -١٥.

ننتقل إذن إلى المرحلة الحاسمة، حيث إن التعبير ٥س يعني أن العدد ٥ مضروب في القيمة المجهولة (س). ولكسر هذه الرابطة وفك شيفرة المتغير، نستخدم العملية العكسية للضرب، ألا وهي القسمة. نقسم كلا طرفي المعادلة على “مُعامل س”، وهو العدد ٥ الملتصق به. بناءً على ذلك، يصبح الطرف الأيمن ٥س ÷ ٥، مما يحرر المتغير (س) ليقف وحيداً، بينما يتحول الطرف الأيسر إلى -١٥ ÷ ٥، ونتيجة هذه القسمة هي -٣. لقد وصلنا الآن إلى مبتغانا، حيث استطعنا أن نبرهن على أن س = -٣.

ولكن، لا يكتمل اليقين في عالم الرياضيات إلا بالبرهان. لذا، ننتقل إلى خطوة التحقق من صحة النتيجة التي توصلنا إليها. نقوم بتعويض قيمة (س) التي استخرجناها، وهي -٣، في المعادلة الأم الأصلية ٥س + ٧ = -٨. تصبح المعادلة بعد التعويض: ٥(-٣) + ٧ = -٨. عند حساب الطرف الأيمن، نجد أن ٥ × -٣ يساوي -١٥، وبإضافة ٧ إليها (-١٥ + ٧)، نحصل على الناتج -٨. بما أن الطرف الأيمن (-٨) قد تطابق تماماً مع الطرف الأيسر (-٨)، نكون قد أثبتنا على نحو قاطع لا يقبل الجدل أن الحل الذي وصلنا إليه صحيح ومؤكد.

• الإجابة: 1,4375

شرح الإجابة:

للوصول إلى التمثيل العشري للعدد الكسري ١ و ٧/١٦، ينبغي علينا أولاً تفكيك هذا الرقم إلى مكوناته الأساسية. يتألف هذا المقدار من جزأين متمايزين: العدد الصحيح وهو “١”، والجزء الكسري وهو “٧/١٦”. يظل العدد الصحيح كما هو في منزلته على يسار الفاصلة العشرية، بينما تتركز مهمتنا الحسابية على تحويل الجزء الكسري إلى هيئته العشرية المكافئة.

ومن هذا المنطلق، ننتقل إلى جوهر العملية وهو تحويل الكسر الاعتيادي ٧/١٦. إن الخط الفاصل بين البسط (الرقم ٧) والمقام (الرقم ١٦) هو في حقيقته رمز لعملية قسمة. بالتالي، فإن الكسر ٧/١٦ يعبر رياضيًا عن قسمة العدد ٧ على العدد ١٦. ولأن البسط أصغر من المقام، فإن ناتج القسمة سيكون حتمًا أقل من الواحد الصحيح، مما يستدعي استخدام القسمة المطولة لإيجاد القيمة الدقيقة.

عند إجراء عملية القسمة المطولة لـ ٧ ÷ ١٦، نبدأ بوضع فاصلة عشرية وإضافة صفر إلى يمين العدد ٧ ليصبح ٧٠. بقسمة ٧٠ على ١٦، نحصل على الناتج ٤ والباقي ٦. ثم نضيف صفراً آخر إلى الباقي ليصبح ٦٠، وبقسمته على ١٦ يكون الناتج ٣ والباقي ١٢. نستمر بإضافة صفر إلى الباقي الجديد ليصبح ١٢٠، وقسمته على ١٦ تعطينا ٧ والباقي ٨. وأخيراً، نضيف صفراً للباقي الأخير ليصبح ٨٠، وعند قسمته على ١٦ يكون الناتج ٥ دون أي باقٍ. وبذلك، يكون خارج قسمة ٧ على ١٦ هو ٠,٤٣٧٥.

وفي المرحلة النهائية، نقوم بجمع شطري القيمة التي فصلناها في البداية. نأخذ العدد الصحيح “١” ونضيف إليه القيمة العشرية التي توصلنا إليها للجزء الكسري وهي “٠,٤٣٧٥”. وعليه، فإن عملية الجمع البسيطة (١ + ٠,٤٣٧٥) تقودنا إلى الإجابة النهائية والمتكاملة، وهي ١,٤٣٧٥، التي تمثل الصورة العشرية الدقيقة للعدد الكسري المعطى.