السؤال: أعط مثالا يؤكد خطأ العبارة الاتية: ناتج قسمة كسرين اعتياديين يقع كل منهما بين 0 و 1 لا يمكن أن يكون عددا صحيحا
شرح الإجابة:
تتجلى المغالطة في العبارة المذكورة عند تفكيك البنية المنطقية لعملية قسمة الكسور. فالافتراض بأن قسمة مقدار صغير على مقدار صغير آخر يجب أن يُنتج مقدارًا صغيرًا هو تصور حدسي خاطئ. لفهم ذلك بوضوح، دعنا نتأمل المثال المُقدم خطوة بخطوة، والذي ينسف هذا الادعاء من أساسه.
في البداية، لنتناول طرفي العملية الحسابية: الكسر الأول هو ثلاثة أرباع (٣/٤)، والكسر الثاني هو ربع (١/٤). كلا القيمتين الكسريتين، كما هو واضح، تقعان بالفعل في النطاق المحدد بين الصفر والواحد الصحيح، محققتين بذلك شرط المسألة الأساسي. جوهر عملية القسمة هنا لا يتمثل في مجرد تقسيم تقليدي، بل هو في حقيقة الأمر سؤال عن عدد المرات التي يمكن فيها احتواء المقسوم عليه، وهو (١/٤)، داخل المقسوم، وهو (٣/٤).
وبالانتقال إلى صلب البرهان، فإن السؤال الرياضي (٣/٤ ÷ ١/٤) يُترجم منطقياً إلى: “كم رُبعاً يوجد في الثلاثة أرباع؟”. الإجابة هنا تصبح بديهية ومنطقية للغاية؛ فالثلاثة أرباع تتكون بطبيعتها من ثلاثة أجزاء متساوية، كل جزء منها يمثل ربعاً واحداً. بناءً على ذلك، فإن حاصل العملية هو العدد الصحيح (٣) بشكل قاطع، وهو ما يناقض الفرضية القائلة باستحالة الحصول على عدد كلي.
يتضح من خلال هذا المثال أن قسمة كسر على كسر آخر أصغر منه أو يساويه يمكن أن يؤدي إلى ناتج يساوي أو يزيد عن الواحد الصحيح. القاعدة الرياضية لقسمة الأعداد النسبية، والتي تنص على الضرب في مقلوب الكسر الثاني، تؤكد هذه النتيجة حسابياً (٣/٤ × ٤/١ = ١٢/٤ = ٣). وعليه، فإن العلاقة بين البسط والمقام في كلا الكسرين هي التي تحدد طبيعة الناتج النهائي، والذي قد يكون كسراً أو، كما أثبتنا، عدداً صحيحاً تماماً، مما يكشف عن عمق وبساطة المنطق الرياضي في آن واحد.