السؤال: أنشأ عبدالله تصميما باستعمال برنامج حاسوبي حيث رسم قطعة مستقيمة تمر بالنقطتين (-2 ، 1) ، (4 ، 3) ثم قطعة أخرى تمر بالنقطتين (2 ، -7) ، (8 ، -3)، فهل تصلح هذه النقاط لتكون رؤوسا لمستطيل ؟ فسر إجابتك.
- الإجابة: لا، هذه النقاط لا يمكن أن تشكل رؤوس مستطيل.
شرح الإجابة:
إن الحكم على أي شكل رباعي بأنه مستطيل يقتضي بالضرورة تحقق شرط جوهري وأساسي، ألا وهو أن تكون جميع زواياه قائمة، أي أن كل ضلعين متجاورين فيه يجب أن يكونا متعامدين. للانتقال من هذا المفهوم النظري إلى التطبيق العملي في عالم الهندسة الإحداثية، فإننا نلجأ إلى أداة رياضية دقيقة تُعرف بـ “الميل” أو “معامل الانحدار”، والذي يقيس درجة انحدار أي خط مستقيم.
وبناءً على هذا المبدأ، نبدأ بتحليل القطعة المستقيمة الأولى التي تصل بين النقطتين (-2 ، 1) و (4 ، 3). من خلال تطبيق معادلة الميل، نجد أن انحدار هذا الضلع المحتمل هو (3 – 1) مقسوماً على (4 – (-2))، مما يعطينا ناتجاً قدره 2 / 6، والذي يُبسَّط إلى 1/3. هذا الرقم يمثل السمة الهندسية للقطعة الأولى.
ثم ننتقل بالتحليل إلى ضلع آخر مجاور له، وهو الذي يمكن أن يتشكل بين النقطة (4 ، 3) والنقطة (8 ، -3). عند حساب ميل هذه القطعة المستقيمة الثانية، نجد أن قيمته هي (-3 – 3) مقسومة على (8 – 4)، فتكون النتيجة -6 / 4، والتي تُختصر إلى -3/2. الآن، أصبح بين أيدينا مقدار انحدار كل من القطعتين المستقيمتين المتجاورتين.
وهنا تكمن لحظة الحسم الرياضي؛ فالقاعدة الثابتة في الهندسة التحليلية تقرر أن شرط التعامد بين أي خطين مستقيمين هو أن يكون حاصل ضرب ميليهما مساوياً للعدد (-1) تحديداً. وعندما نطبق هذه القاعدة على معطياتنا، نجد أن حاصل ضرب الميلين (1/3) × (-3/2) يساوي -3/6، أي -1/2. هذه النتيجة، -1/2، تختلف اختلافاً جذرياً عن الشرط اللازم للتعامد وهو -1.
يترتب على ذلك حقيقة رياضية لا تقبل الجدل، وهي أن الضلعين المذكورين ليسا متعامدين، وبالتالي فإن الزاوية المتشكلة عند نقطة التقائهما (4 ، 3) ليست زاوية قائمة. وبما أن المستطيل يُعرَّف بكونه شكلاً رباعياً زواياه الأربع قوائم، فإن انتفاء هذا الشرط الأساسي في زاوية واحدة فقط يكفي لهدم الفرضية بأكملها، ويؤكد بشكل قاطع أن هذه النقاط الأربع لا يمكن أن تجتمع لتشكل رؤوس مستطيل.