السؤال: إذا كان 1 سنتمتر يساوي 0,392 بوصة تقريبا، اكتب هذا الكسر على صورة كسر اعتيادي في أبسط صورة.
شرح الإجابة:
إن الانتقال من عالم الأعداد العشرية إلى عالم الكسور الاعتيادية هو بمثابة ترجمة لفكرة رياضية من لغة إلى أخرى. فالعدد العشري 0,392 يمثل قيمة محددة، ومهمتنا تكمن في الكشف عن صورته الكسرية الأصلية في شكلها الأكثر نقاءً واختزالاً. ننطلق في هذه الرحلة بفهم أن كل منزلة على يمين الفاصلة العشرية تمثل قوة للعدد عشرة في المقام؛ فالمنزلة الأولى تمثل أعشاراً (10)، والثانية أجزاءً من مئة (100)، والثالثة أجزاءً من ألف (1000).
من هذا المنطلق، نرى أن العدد 0,392 يمتد لثلاث منازل عشرية، وهذا يقودنا مباشرةً إلى أن مقامه الأولي هو 1000. وعليه، فإن الصورة الكسرية المبدئية لهذا المقدار هي 392 على 1000، أو 392/1000. هذه هي الخطوة الأولى، وهي تحويل الهيئة العشرية إلى هيئة كسرية، لكنها ليست المحطة النهائية. فالكسر في هذه الحالة ليس في أبسط أشكاله، إذ يوجد قاسم مشترك يربط بين البسط والمقام.
وهنا تبدأ عملية الصقل والتهذيب الرياضي، وهي البحث عن القاسم المشترك الأكبر لتبسيط الكسر. نلاحظ أن كلاً من العدد 392 والعدد 1000 هما عددان زوجيان، مما يعني أن كليهما يقبل القسمة على 2. بقسمة البسط والمقام على 2، نحصل على كسر مكافئ جديد وهو 196/500. ومع ذلك، لا تزال عملية التبسيط ممكنة، فكلا العددين الجديدين زوجيٌ أيضاً.
نواصل المسير بنفس المنهجية، فنقوم بقسمة 196 على 2 لنحصل على 98، ونقسم 500 على 2 لنحصل على 250. ليصبح الكسر الآن في صورة 98/250. للمرة الثالثة على التوالي، نجد أننا أمام بسط ومقام زوجيين، مما يدعونا إلى جولة أخيرة من القسمة على 2. قسمة 98 على 2 تعطينا 49، وقسمة 250 على 2 تعطينا 125.
نصل هنا إلى نقطة حاسمة، وهي الكسر 49/125. عند هذه النقطة، يجب أن نتأكد من وصولنا إلى أبسط صورة ممكنة. بتحليل العدد 49 نجد أن عوامله الأولية هي 7 × 7، وبتحليل العدد 125 نجد أن عوامله الأولية هي 5 × 5 × 5. من الواضح أنه لا يوجد أي عامل أولي مشترك بين العددين، وبالتالي فإن القاسم المشترك الأكبر بينهما هو الواحد الصحيح. بهذا نكون قد وصلنا إلى الشكل الجوهري والمختزل للعدد 0,392، وهو الكسر الاعتيادي 49/125.