السؤال: إذا كان مجموع قياسي الزاويتين س ، ص يساوي 180 وقياس الزاوية س يزيد بمقدار 24 على قياس الزاوية ص فأجب عما يأتي: أ) أكتب نظاما من معادلتين لتمثيل هذا الموقف. ب) أوجد قياس كل زاوية.
- الإجابة:
أ) نظام المعادلات هو: س + ص = ١٨٠، و س = ص + ٢٤.
ب) قياس الزاوية س = ١٠٢°، وقياس الزاوية ص = ٧٨°.
شرح الإجابة:
لفهم هذه المسألة الرياضية، علينا أولاً أن نُترجم المعطيات اللفظية إلى لغة الرموز والمعادلات الجبرية. إن جوهر الأمر يكمن في تحويل العلاقات الوصفية إلى علاقات كمية دقيقة. لدينا معلومتان أساسيتان تشكلان حجر الزاوية في الحل؛ المعلومة الأولى هي أن مجموع قياسي الزاويتين يساوي ١٨٠ درجة، وهو ما يُعرف في الهندسة بمفهوم “الزاويتين المتكاملتين”. هذا يُصاغ مباشرةً في المعادلة الأولى: س + ص = ١٨٠. أما المعلومة الثانية، فتوضح علاقة تفاضلية بين الزاويتين، حيث إن قياس الزاوية “س” يتجاوز قياس الزاوية “ص” بمقدار ٢٤ درجة. ومن هنا، نستنبط المعادلة الثانية: س = ص + ٢٤.
بعد أن قمنا بتأسيس نظام المعادلات الخطية هذا، ننتقل إلى مرحلة الحل لإيجاد قيمة كل متغير. إن امتلاكنا لمعادلتين بمتغيرين يمنحنا القدرة على كشف قيمة كل منهما. من أنجع الأساليب هنا هو “التعويض”، حيث نستخدم إحدى المعادلتين للتعبير عن متغير بدلالة الآخر، ثم ندمج هذه العلاقة في المعادلة المتبقية. بالنظر إلى المعادلة الثانية (س = ص + ٢٤)، نجد أن قيمة “س” مُعبر عنها بوضوح. بناءً على ذلك، نعوض عن المتغير “س” في المعادلة الأولى بقيمته الجديدة (ص + ٢٤).
تصبح المعادلة الأولى بعد عملية التعويض على النحو التالي: (ص + ٢٤) + ص = ١٨٠. الآن، أصبحت المعادلة تحتوي على متغير واحد فقط وهو “ص”، مما يسهل حلها. بجمع الحدود المتشابهة، نحصل على: ٢ص + ٢٤ = ١٨٠. الخطوة التالية تتطلب عزل المتغير “ص” في طرف بمفرده، فنطرح ٢٤ من كلا طرفي المعادلة، لتصبح: ٢ص = ١٨٠ – ٢٤، أي ٢ص = ١٥٦. وأخيراً، بقسمة الطرفين على ٢، نصل إلى القيمة العددية للزاوية ص، وهي: ص = ٧٨ درجة.
وما إن تتضح قيمة أحد المجهولين، حتى يصبح كشف الآخر أمراً يسيراً. بالرجوع إلى المعادلة الثانية (س = ص + ٢٤) التي تربط بين المتغيرين، نعوض عن “ص” بقيمتها المعلومة (٧٨)، فتكون النتيجة: س = ٧٨ + ٢٤، وهو ما يعطينا قياس الزاوية س = ١٠٢ درجة. وللتأكد من صحة المنظومة الحسابية بأكملها، نتحقق من أن القيمتين تحققان الشروط الأولية؛ فمجموعهما بالفعل ١٠٢ + ٧٨ = ١٨٠، والفرق بينهما هو ١٠٢ – ٧٨ = ٢٤. وبهذا، نكون قد وصلنا إلى الحل الدقيق والمنطقي للمسألة.