السؤال: اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطتين (-4 ، 8) ، (3 ، -7) وما ميله ؟ وأين يقطع كلا من محوري السينات والصادات؟
- الإجابة: معادلة المستقيم هي: ص = –١٥/٧س – ٤/٧، والميل (م) = –١٥/٧، ويقطع محور السينات عند النقطة (–٤/١٥، ٠)، ويقطع محور الصادات عند النقطة (٠، –٤/٧).
شرح الإجابة:
إن لكل خط مستقيم في الفضاء الإحداثي بصمة فريدة تصف مساره وانحداره، وهذه البصمة هي ما نطلق عليها اسم “معادلة المستقيم”. ولكي نكشف عن هذه المعادلة، نبدأ رحلتنا بتحديد ميل أو انحدار هذا الخط، والذي يمثل جوهر حركته. الانطلاق يكون من الإحداثيين المعطيين: النقطة الأولى (س١، ص١) وهي (-٤ ، ٨)، والنقطة الثانية (س٢، ص٢) وهي (٣ ، -٧). من هنا، نطبق قانون الميل (م) الذي يُعَد بمثابة مقياس للتغير الرأسي مقابل التغير الأفقي، وصيغته الرياضية هي: م = (ص٢ – ص١) / (س٢ – س١). بالتعويض الدقيق للقيم، نجد أن الميل يساوي ((-٧) – ٨) مقسوماً على (٣ – (-٤))، مما يقودنا إلى نتيجة بسطه -١٥ ومقامه ٧. إذن، ميل المستقيم هو –١٥/٧.
وما إن أمسكنا بخيط الميل، حتى أصبح بناء المعادلة الكاملة في متناول اليد. نلجأ هنا إلى ما يعرف بـ “صيغة النقطة والميل”، وهي أداة رياضية قوية تسمح لنا بتشكيل المعادلة باستخدام الميل وأي نقطة يمر بها المستقيم. الصيغة هي: ص – ص١ = م(س – س١). باختيار النقطة الأولى (-٤، ٨) والميل الذي استنتجناه للتو (–١٥/٧)، تتشكل المعادلة الأولية على النحو التالي: ص – ٨ = –١٥/٧ (س – (-٤)). وبتبسيط هذا التعبير، نجد أن ص – ٨ = –١٥/٧ (س + ٤). وبتوزيع الميل على القوس، تصبح المعادلة ص – ٨ = –١٥/٧س – ٦٠/٧. الخطوة الأخيرة تتطلب عزل المتغير “ص” في طرف بمفرده، وذلك بإضافة ٨ إلى كلا الطرفين، فتستقر المعادلة على هيئتها النهائية: ص = –١٥/٧س – ٤/٧.
والآن، بعد أن تجلّت لنا معادلة المستقيم بوضوح، يتبقى أن نحدد نقاط التقاء هذا الخط مع المحاور الأساسية في المستوى الديكارتي: محور السينات ومحور الصادات. إن نقطة تقاطع أي مستقيم مع محور الصادات (المحور الرأسي) تحدث دائمًا عندما تكون قيمة “س” تساوي صفرًا. بالعودة إلى معادلتنا النهائية وتعويض “س” بصفر، نجد أن ص = (–١٥/٧ * ٠) – ٤/٧، وهو ما يعطينا قيمة “ص” مباشرة: –٤/٧. بالتالي، فإن المستقيم يلامس محور الصادات عند النقطة (٠، –٤/٧). وعلى الجانب الآخر، فإن نقطة التقاطع مع محور السينات (المحور الأفقي) تظهر عندما تكون قيمة “ص” هي التي تساوي صفرًا. بوضع صفر مكان “ص” في المعادلة، نحصل على: ٠ = –١٥/٧س – ٤/٧. وبحل هذه المعادلة البسيطة لإيجاد “س”، نجد أن ١٥/٧س = –٤/٧، وبعد الاختصار، نصل إلى أن قيمة “س” هي –٤/١٥. ومن ثم، فإن المستقيم يقطع محور السينات عند النقطة (–٤/١٥، ٠).