تريد أمينة أن تدخر نقوداً لشراء قصة جديدة. إذا وفرت ريالا في الأسبوع الأول، و3 ريالات في الأسبوع الثاني، و9 ريالات في الأسبوع الثالث، وهكذا. كم ستوفر أمينة في 5 أسابيع؟

السؤال: تريد أمينة أن تدخر نقوداً لشراء قصة جديدة. إذا وفرت ريالا في الأسبوع الأول، و3 ريالات في الأسبوع الثاني، و9 ريالات في الأسبوع الثالث، وهكذا. كم ستوفر أمينة في 5 أسابيع؟

• الإجابة: 121 ريالاً.

شرح الإجابة:

في بداية التحليل، نلاحظ أن المبالغ التي توفرها أمينة تتبع نمطاً تصاعدياً منتظماً، حيث يتضاعف المبلغ الأسبوعي بثلاثة أضعاف مقارنة بالأسبوع السابق. هذا النمط يُعرف في الرياضيات بالمتتالية الهندسية، والتي تتميز بثبات النسبة بين كل حد والحد الذي يسبقه.

ولفهم هذا النمط بدقة، نبدأ بتحديد عناصر المتتالية:

– الأسبوع الأول: 1 ريال
– الأسبوع الثاني: 1 × 3 = 3 ريالات
– الأسبوع الثالث: 3 × 3 = 9 ريالات
– الأسبوع الرابع: 9 × 3 = 27 ريالاً
– الأسبوع الخامس: 27 × 3 = 81 ريالاً

وبذلك تكون المتتالية: 1، 3، 9، 27، 81

عند جمع هذه القيم نحصل على مجموع المدخرات خلال خمسة أسابيع:

1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121 ريالاً

هذا المجموع يمثل مجموع أول خمسة حدود في متتالية هندسية حدها الأول هو 1، ونسبة التكرار أو القاعدة هي 3. ويمكن التحقق من صحة هذا الحساب باستخدام قانون مجموع المتتالية الهندسية:

مجموع الحدود = (الحد الأول × (النسبة^عدد الحدود – 1)) ÷ (النسبة – 1)

وبتطبيق القانون:

المجموع = (1 × (3^5 – 1)) ÷ (3 – 1)
المجموع = (1 × (243 – 1)) ÷ 2
المجموع = 242 ÷ 2 = 121 ريالاً

وبذلك يتأكد أن أمينة ستتمكن من توفير 121 ريالاً خلال خمسة أسابيع، مما يتيح لها شراء القصة الجديدة التي ترغب بها، اعتماداً على نظام ادخار تصاعدي منظم يعكس فهماً رياضياً دقيقاً لقوانين النمو الهندسي.