السؤال: حدد ما إذا كان المستقيمان ص = -6س + 4، ص = 1/6س متعامدان أم لا، وفسر إجابتك
- الإجابة: نعم، المستقيمان متعامدان.
شرح الإجابة:
إن جوهر الحكم على العلاقة بين أي خطين مستقيمين في المستوى الإحداثي يكمن في فهم ميل كل منهما. فالميل ليس مجرد رقم، بل هو الهوية التي تحدد اتجاه وانحدار الخط. إن المعادلات المعطاة لك، ص = -6س + 4 و ص = 1/6س، قُدمت بصيغة الميل والمقطع (ص = م س + ب)، وهذه الصيغة تكشف لنا مباشرة عن ميل المستقيم “م” وهو العدد المضروب في المتغير “س”.
وبالنظر إلى المعادلة الأولى، نجد أن معامل “س” أو معامل التوجيه هو -6، وهذا هو ميل المستقيم الأول. ثم ننتقل إلى المعادلة الثانية، فنجد أن انحدارها يُعبر عنه بالكسر 1/6، وهو ميل المستقيم الثاني. حتى هذه اللحظة، كل ما قمنا به هو استخلاص البيانات الأساسية من المعادلات، والآن ننتقل إلى مرحلة التحليل الهندسي العميق.
هنا تبرز القاعدة الهندسية الحاسمة التي تفصل في مسألة التعامد: يكون المستقيمان متعامدين إذا وفقط إذا كان حاصل ضرب ميليهما يساوي -1. هذا الشرط الرياضي هو الترجمة الجبرية لتشكيل المستقيمين زاوية قائمة (90 درجة) عند تقاطعهما. بمعنى آخر، يجب أن يكون ميل أحدهما هو “المقلوب السالب” لميل الآخر.
وبتطبيق هذه القاعدة على الميلين اللذين استخرجناهما، نقوم بالعملية الحسابية التالية: (-6) × (1/6). إن حاصل ضرب العدد في مقلوبه يساوي 1، وبوجود الإشارة السالبة، تكون النتيجة النهائية هي -1. هذا التطابق الدقيق مع الشرط الهندسي للتعامد لا يدع مجالاً للشك.
إذن، بما أن ناتج ضرب الميلين يساوي -1، فإننا نصل إلى استنتاج قاطع بأن المستقيمين متعامدان بالفعل. فالعلاقة بينهما ليست عشوائية، بل هي علاقة هندسية دقيقة ومحددة، يؤكدها البرهان الجبري الذي قمنا به.