السؤال: كتب كل من أحمد وسمير معادلة المستقيم المار بالنقطتين (3، -2)، (6 ، 4) فأيهما كانت إجابته صحيحة؟ وضح السبب
- الإجابة: كانت إجابة أحمد هي الصحيحة؛ لأن سمير ارتكب خطأً في تطبيق القانون وعكس بين الإحداثي السيني والإحداثي الصادي للنقطة التي استخدمها في التعويض.
شرح الإجابة:
إن القضية المطروحة هنا تتمحور حول تحديد المسار الخطي الوحيد الذي يربط بين نقطتين في المستوى الإحداثي، ولكل مسار خطي صيغة رياضية فريدة تعبر عنه. للوصول إلى هذه الصيغة، نتبع مسارًا منطقيًا لا يقبل الخطأ، وهو ما نجح فيه أحمد وأخفق فيه سمير.
الخطوة الأولى والأكثر أهمية هي تحديد “ميل” المستقيم، أو ما يمكن تسميته “معامل التوجيه” الذي يصف درجة انحداره. يُحسب هذا المعامل بقسمة الفارق في الإحداثيات الصادية (التغير الرأسي) على الفارق في الإحداثيات السينية (التغير الأفقي). بتطبيق ذلك على النقطتين (3، -2) و(6 ، 4)، يكون الحساب كالتالي: (4 – (-2)) مقسومًا على (6 – 3)، مما ينتج عنه 6 مقسومًا على 3، لتكون قيمة الميل تساوي 2. هذه هي حجر الزاوية الذي يُبنى عليه الحل الصحيح.
انطلاقًا من هذه القاعدة، ننتقل إلى صياغة المعادلة باستخدام ما يُعرف بـ”صيغة الميل ونقطة”، وهي: ص – ص1 = م(س – س1)، حيث (م) هو الميل الذي حسبناه للتو، و(س1، ص1) هي إحداثيات أي من النقطتين المتاحتين. اتبع أحمد هذا المسار بدقة، فلو استخدم النقطة (6، 4) على سبيل المثال، لعوض في المعادلة لتصبح: ص – 4 = 2(س – 6)، وبعد تبسيطها تنتج المعادلة النهائية: ص = 2س – 8. هذه هي المعادلة السليمة التي تمثل المستقيم بدقة متناهية.
وهنا يكمن الزلل الجوهري الذي وقع فيه سمير. فبدلًا من أن يضع الإحداثي الصادي مكان (ص1) والإحداثي السيني مكان (س1)، قام بعكسهما. عند استخدامه للنقطة (3، -2)، يفترض أن تكون المعادلة (ص – (-2) = 2(س – 3))، لكنه على الأرجح استبدل المواضع فكتب شيئًا على غرار (ص – 3 = 2(س – (-2)))، وهذا خطأ منهجي فادح؛ لأنه بذلك لم يعد يستخدم النقطة (3، -2) بل نقطة أخرى تمامًا، مما قاده حتمًا إلى استنتاج معادلة خاطئة تصف مستقيمًا مختلفًا كليًا.
مما يقودنا إلى نتيجة حتمية مفادها أن الدقة في الهندسة الإحداثية ليست ترفًا، بل هي أساس الحل. فالنقطة (س، ص) لها هوية مكانية محددة تختلف جذريًا عن هوية النقطة (ص، س). إن التزام أحمد بالترتيب الصحيح للإحداثيات ضمن القوانين الرياضية الثابتة هو ما ضمن له الوصول إلى الإجابة الصائبة، بينما كان عدم انتباه سمير لهذه القاعدة الأولية هو سبب إجابته الخاطئة.