هل يتكون التمثيل البياني لمتباينة القيمة المطلقة من اتحاد تمثيلين أحيانا أم دائما أم أنه لا يكون كذلك أبدا اشرح إجابتك

السؤال: هل يتكون التمثيل البياني لمتباينة القيمة المطلقة من اتحاد تمثيلين أحياناً أم دائماً أم أنه لا يكون كذلك أبداً؟ اشرح إجابتك.

شرح الإجابة:

إن الجزم بأن التمثيل البياني لمتباينات القيمة المطلقة يتألف دوماً من اتحاد تمثيلين هو تبسيط يغفل عن جوهر المفهوم. فالحقيقة أن طبيعة التمثيل تتشكل وتتغير اعتماداً على بنية المتباينة ذاتها، والعلاقة بين طرفيها. فالقيمة المطلقة، في صميمها، هي مقياس للمسافة عن نقطة الصفر على خط الأعداد، وهذه المسافة لا يمكن أن تكون سالبة أبداً.

ينبثق عن ذلك أن التمثيل البياني قد يأتي على صورة اتحاد تمثيلين بالفعل، وهذا يحدث غالباً عندما تكون المتباينة على شاكلة |س| > جـ (حيث جـ عدد موجب). هنا، نبحث عن كل الأعداد التي تبعد عن الصفر مسافة أكبر من “جـ”، مما يقودنا إلى مجموعتي حلول منفصلتين: الأولى تضم الأعداد الأكبر من جـ، والثانية تشمل الأعداد الأصغر من سالب جـ. وهاتان المجموعتان تشكلان معاً اتحاداً يظهر على خط الأعداد كسهمين متجهين في اتجاهين متعاكسين.

لكن، وفي المقابل، قد يتخذ التمثيل البياني هيئة تقاطع تمثيلين، ويتبلور هذا الشكل في حالة المتباينات من نوع |س| < جـ (حيث جـ عدد موجب). ففي هذه الحالة، يكون البحث عن الأعداد التي مسافتها عن الصفر أقل من "جـ"، مما يحصر الحلول في نطاق واحد متصل بين سالب جـ وموجب جـ. هذا النطاق هو فعلياً منطقة التقاطع بين مجموعة الأعداد الأكبر من سالب جـ ومجموعة الأعداد الأصغر من جـ، ويظهر كقطعة مستقيمة واحدة على خط الأعداد.

علاوة على ذلك، توجد حالات خاصة تكسر القاعدتين السابقتين تماماً. فإذا ما واجهتنا متباينة مثل |س| < -٢، فإن مجموعة الحلول تكون مجموعة خالية (فاي)؛ إذ من المستحيل أن تكون المسافة (وهي دائماً موجبة أو صفر) أقل من عدد سالب. وعلى النقيض، إذا كانت المتباينة |س| > -٢، فإن الحل يشمل جميع الأعداد الحقيقية، لأن أي قيمة مطلقة لأي عدد حقيقي ستكون حتماً أكبر من أي عدد سالب. إذن، الجواب الدقيق هو “أحياناً”، لأن هوية التمثيل البياني تتوقف بشكل حاسم على بنية المتباينة الرقمية.