وضح كيف تحدد ساقي المثلث القائم الزاوية عند تمثيل العدد غير النسبي

السؤال: وضح كيف تحدد ساقي المثلث القائم الزاوية عند تمثيل العدد غير النسبي

• الإجابة: حاول البحث عن عددين صحيحين، بحيث يكون مجموعهما بعد تربيع كل منهما مساويًا للعدد المراد تمثيله والموجود تحت علامة الجذر، ثم استخدم هذين العددين كأطوال لساقي المثلث القائم الزاوية.

شرح الإجابة:

إن تمثيل الأعداد غير النسبية، أو ما يُعرف بالأعداد الصمّاء، على خط الأعداد يتطلب منا استدعاء علاقة رياضية جوهرية، وهي نظرية فيثاغورس التي تحكم خصائص المثلث قائم الزاوية. هذه النظرية تنص على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الساقين الآخرين. ومن هذا المنطلق، نؤسس لطريقة هندسية دقيقة تتيح لنا رسم طول يمثل تمامًا قيمة ذلك العدد غير النسبي.

ولتحقيق ذلك، نبدأ بالعدد الذي نريد تمثيله، وليكن (ن) الموجود داخل الجذر التربيعي (√ن). إن هدفنا هو إنشاء مثلث قائم الزاوية يكون طول وتره مساويًا لـ (√ن). وفقًا للمبدأ الفيثاغورسي، يجب أن يكون مربع الوتر، وهو (ن)، مساويًا لمجموع مربعي الساقين. بناءً على ذلك، تنحصر مهمتنا في إيجاد عددين، ليكن اسمهما (أ) و (ب)، بحيث إذا قمنا بتربيع كل منهما وجمعنا الناتج، نحصل على العدد (ن) نفسه. أي أننا نبحث عن حل للمعادلة: أ² + ب² = ن.

هنا تكمن الخطوة العملية المحورية؛ حيث نبدأ بالبحث عن مربعين كاملين مجموعهما يساوي القيمة (ن). على سبيل المثال، إذا أردنا تمثيل العدد √20، فإننا نبحث عن مربعين كاملين مجموعهما 20. المربعات الكاملة الأصغر من 20 هي: 1، 4، 9، 16. وباختبار بسيط، نجد أن 4 + 16 = 20. لقد وجدنا ضالتنا. هذان هما المربعان الكاملان اللذان نبحث عنهما. الخطوة التالية مباشرة هي أخذ الجذر التربيعي لكل منهما لتحديد أطوال الساقين، فيكون طول الساق الأول هو √4 = 2، وطول الساق الثاني هو √16 = 4. وهكذا، بتشييد مثلث قائم الزاوية يبلغ طول ساقيه وحدتين وأربع وحدات، فإن وتره بالضرورة سيبلغ طوله √20.